¿Para qué clase de instrumentos el modelo de mercado SABR/LIBOR funciona mejor que el modelo de mercado LIBOR clásico?
El modelo de mercado del LIBOR
El modelo de mercado LIBOR -también conocido como modelo Brace, Gatarek, Musiela- es un modelo de tipos de interés capaz de reproducir la estructura de correlación de los tipos a plazo. Los modelos de un solo factor son incapaces de reproducir esta estructura y, por tanto, no pueden valorar con precisión los derivados cuyos precios reflejan estas correlaciones. Un ejemplo típico de estos derivados son los swaps que pagan una función no lineal de la diferencia de dos tipos de swap para dos vencimientos diferentes.
El modelo se construye utilizando una familia de tipos LIBOR: $L_0(t), \ldots, L_n(t)$ , donde $L_i(t)$ es el tipo de interés a plazo del LIBOR a partir de $t_i$ y terminando en $t_{i+1}$ , siguiendo
$$dL_i(t)=\sigma_i(t)L_i(t)dW^{i+1}(t).$$
El modelo de mercado del LIBOR SABR
Un defecto importante del LMM es el conocido como volatilidades pegajosas: si el modelo se calibra en un mercado altamente volátil, asume que esta alta volatilidad dura para siempre, lo que lleva a resultados inexactos.
El LMM de SABR intenta abordar esta cuestión. En este modelo, se supone que cada tipo LIBOR sigue una dinámica log-normal que tiene estocástico la volatilidad:
$$dL_i(t)=\sigma_i(t)L_i^{\beta_i}(t)dW^{i+1}(t) \\d\sigma_i(t) = \alpha_i \sigma_i(t)dZ(t)\\ <dW,dZ> = \rho dt$$
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¿Podría proporcionar una breve descripción de los modelos mencionados? Los SDE son bienvenidos.
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Que yo sepa, la mayoría de los operadores de swaptions utilizan el modelo SABR o SABR ampliado.
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Yo diría que nadie utiliza el LMM clásico, ya que no permite calibrar una sonrisa. Pero hay muchas extensiones de las funciones de volatilidad que podrían utilizarse con el LMM. Podríamos dividirlas en Funciones de Volatilidad Local (LVFs) y VFs Estocásticas. Como LVF se podría utilizar la Varianza de Elasticidad Constante, la Lognormal Desplazada o la VF cuadrática. El grupo SVF incluye varias configuraciones en las que la VF es estocástica. En mi opinión, el SABR es muy pesado desde el punto de vista computacional, y yo utilizaría el SVF de Piterbarg ver 15.2.5