Para dos bienes $x$ y $y$, la elasticidad de sustitución se define como $$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}} $$
Estoy confundido por dos cosas:
¿Alguien puede explicar?
Cómo derivar la elasticidad de sustitución
El primer paso es recordar la definición de un diferencial. Si tienes una función $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$, digamos, $f(x_1,\cdots,x_n)$, entonces: $${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n. $$
Por ejemplo, $$d\log v = \frac{1}{v}dv$$
Ahora supongamos $v = \tfrac{y}{x}$, entonces tenemos $$ d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$$
y para $v = \tfrac{U_x}{U_y}$
$$ d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$$
En otras palabras, si reduces el problema a (1) entender la definición de un diferencial y (2) usar un simple cambio de variable, el problema se vuelve muy sencillo.
Luego obtienes
$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} } $$
NOTA:
Es importante reconocer que $ d(y/x)$ es un concepto significativo. Simplemente aplicas la regla del cociente y encuentras
$$ d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$$
Esto tiene sentido porque
$$ d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$
Y si calculas
$$ d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$
La misma lógica se aplica a $d(U_x/U_y)$.
Por lo tanto, todo $\sigma$ está bien definido en el sentido de que estamos utilizando las herramientas de cálculo correctamente / legalmente.
¿Qué es la elasticidad de sustitución?
La elasticidad es cuánto % cambia una cosa en relación a un % de cambio en otra. Por lo tanto, en este caso, es el % de cambio en la relación de dos bienes en relación a un % de cambio en la $MRS$ de esos dos bienes.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
