Max opción de apalancamiento huelga

Question

Desde opciones son apalancadas, las inversiones en acciones, en la que la huelga de $K$ hace una opción Europea de proporcionar un máximo de apalancamiento?

Por medio de la presente definir el apalancamiento $L$ como la proporción de Delta/Optionprice:

$$L(K)=\frac{\Delta(K)}{C(K)}$$

Usted puede asumir que todos los parámetros fijos y positivo ($T-t>0$), excepto la huelga $K (>0)$.

Delta se define como $\Delta=\frac{\partial C(S)}{\partial S}$.

La opción máximo de apalancamiento huelga es importante ya que proporciona el máximo posible de ganancias (y pérdidas) en la inversión.

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• Soluciones numéricas sería aceptable (por ejemplo, MATLAB fmincon).

• Soluciones gráficas también sería aceptable (por ejemplo, MATLAB parcela o http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2).

• Intuitiva explicaciones sería aceptable.

• Para las soluciones teóricas puede utilizar el modelo Black-Scholes donde

\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\derecho) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\derecho) + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ &= d_1 - \sigma\sqrt{T t} \end{align} y \begin{align} P(S, t) &= Ke^{-r(T - t)} - S + C(S, t) \\ &= N(-d_2) Ke^{-r(T - t)} - N(-d_1) S \end{align}

Los deltas de call y put son

$$\Delta^C=N(d_1)$$ $$\Delta^P =N(d_1) - 1$$

donde $N(\cdot)$ denota la distribución Normal acumulativa.

Answer 1

Ciao, Estoy estudiando este problema a partir de un tiempo. Me permito publicar el gráfico obtenido numéricamente. Yo he utilizado los siguientes parámetros:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} S &=& 2 \\ r &=& 0.01 \\ \sigma &=& 0.2 \\ K &\y [0.1, 10] \\ T &=& 5 \\ t &=& 1 \end{array} \derecho. $$

Esto no es bueno ya que la función es siempre creciente, lo que significa que no tiene valor máximo wrt $K$.

El caso es que realmente interesantes, permítanme informe de la trama:

Por supuesto, en este caso tenemos un mínimo (trabajando muy duro para un cerrado de la forma...en que viene). He resuelto el mínimo problema numéricamente de nuevo (en el caso). Para ello he estudiado el comportamiento del valor mínimo de $K$ wrt $S$. En resulta que la ecuación siguiente:se $$ K_{min} = \frac{3}{2}S $$

Este es el código R que yo he utilizado:

d1 <- function(S, K, sigma, r, T, t){
  return(1/(sigma*sqrt(T-t))*(log(S/K) + (r + sigma^2/2)*(T-t)))
}

d2 <- function(S, K, sigma,r,  T, t){
  return(d1(S, K, sigma, r, T, t) - sigma*sqrt(T-t) )
}

Call <- function(S, K, sigma,r,  T, t){
  return(pnorm(d1(S, K, sigma, r, T, t))*S - pnorm(d2(S, K, sigma, r, T, t))*K*exp(-(T-t)) )
}

DeltaCall <- function(S, K, sigma, r, T, t){
  return(pnorm(d1(S, K, sigma, r, T, t)))
}


Put <- function(S, K, sigma, r, T, t){
  return(K*exp(-r*(T-t)) - S + Call(S, K, sigma, r, T, t))
}

DeltaPut <- function(S, K, sigma, r, T, t){
  return(DeltaCall(S, K, sigma, r, T, t) - 1)
}

leverageCall <- function(S, K, sigma, r, T, t){
  return(DeltaCall(S, K, sigma, r, T, t)/Call(S, K, sigma, r, T, t))
}

leveragePut <- function(S, K, sigma, r, T, t){
  return(DeltaPut(S, K, sigma, r, T, t)/Put(S, K, sigma, r, T, t))
}


minLPut <- function(S, K, sigma, r, T, t){
  LPut = leveragePut(S, K, sigma, r, T, t)
  return(min(LPut))
}

argminLput <- function(S, K, sigma, r, T, t){
  LPut = leveragePut(S, K, sigma, r, T, t)
  return(K[LPut == min(LPut)])
}



S = 2
r = 0.01
sigma = .2
T  = 5
t = 1
K = seq(0.1, 10, by = 0.01)

LCall = leverageCall(S, K, sigma, r, T, t)
LPut = leveragePut(S, K, sigma, r, T, t)

argminLput(S, K, sigma, r, T, t)
argminLput(4, K, sigma, r, T, t)

plot(K, LCall,
     xlab = "Strike",
     ylab = "Leverage",
     type = "l",
     main = "Call Leverage")
grid()

plot(K, LPut,
     xlab = "Strike",
     ylab = "Leverage",
     type = "l",
     main = "Put Leverage")
grid()



S = seq(0.1, 10, by = 0.01)
yS = S
for(i in 1:length(S)){
  yS[i] = argminLput(S[i], K, sigma, r, T, t)
}

plot(S, yS,
     type = "l",
     xlab = "Spot",
     ylab = "argmin K",
     main = "Put argmin plot")
grid()