De las transformadas de Fourier a los valores de las opciones

Question

Estoy tratando de entender cómo Transformación de Fourier & Características funciones puede utilizarse para calcular los valores de las opciones.

Sin embargo, tengo dificultades para seguir el proceso que se utiliza en varios documentos introductorios como: Carr & Madam , Liuren Wu , Schmelze o Chourdakis (capítulo 4)

Para obtener una comprensión intuitiva de este método, sería muy útil si alguien pudiera proporcionarme un ejemplo sobre cómo calcular los precios de las opciones utilizando esta técnica de fijación de precios.

Como esto no es una tarea, cualquier ejemplo intuitivo será muy apreciado.

EDITAR: Como ejemplo potencial, consideremos que queremos estimar el valor razonable de una opción de compra europea emitida a $K = 12$ y con el tiempo de maduración $T = 2$ años. El activo subyacente $S$ tiene un precio inicial $S_0 = 10$ y la volatilidad de sus rendimientos es $\sigma = 0.25$ . El tipo libre de riesgo es $r = 0.05$ .

Para el ejemplo anterior, el Ecuación de Black-Scholes indica que el valor razonable de la opción debe ser $1.07$ . ¿Cómo puedo reproducir este resultado utilizando las transformadas de Fourier?

Answer 1

Cuando no se conoce analíticamente la pdf de una distribución, es habitual calcularla tomando la transformada inversa de Fourier de su función característica. La misma idea se aplica aquí. Consideremos la fórmula de la expectativa descontada de una opción europea $$V (S,\tau) = e^{-r\tau} \mathbb{E}_{x_0} [\theta(x_T)]$$ . para los precios de los troncos $x$ y tiempo de caducidad $\tau=T-t$ . En forma integral es $$V (S,\tau)= e^{-r\tau} \int_{-\infty}^\infty \theta(x_T) f(x_T|x_0) dx_T$$ donde $f(x_T|x_0)$ es la densidad de probabilidad de transición (es decir, la probabilidad de alcanzar $x_T$ dado $x$ ). Para los activos que siguen a determinadas distribuciones, $f$ puede ser difícil de encontrar analíticamente y puede incluso no existir (considere el distribución estable ). Sin embargo, para la gran mayoría de las distribuciones utilizadas en finanzas, la transformada de Fourier (o función característica) lo es. Por lo tanto, la refundición del problema de la fijación de precios en el dominio de Fourier es bastante natural. Hagámoslo aplicando la transformada de Fourier a la fórmula de la expectativa descontada. Introduzcamos la amortiguación $\exp (\alpha x)$ para que $\exp (\alpha x) \theta(x) \in \mathbb{L}^2(\mathbb{R})$ $$\begin{align} \hat{V} (S,\tau) &= e^{-r \tau} \mathcal{F} \{\mathbb{E}_{x_0} [e^{\alpha x} \theta(x_T)] \} \\ &= e^{-r\tau} \mathbb{E}_{x_0} [\hat{\theta}_\alpha(x_T) ] . \end{align}$$ Por inversión de Fourier $$\begin{align} V(S, \tau) &= e^{-r\tau} \mathcal{F}^{-1} \{ \mathbb{E}_{x_0} [\hat{\theta}_\alpha (x_T) ] \} \\ &= \frac{e^{-r\tau}}{2 \pi} \int_{-\infty+i \alpha}^{\infty+i \alpha} \hat{\theta}_\alpha (x_T) \mathbb{E}_{x_0} [e^{iux_T}] dx_T \\ &= \frac{e^{-r\tau}}{2 \pi} \int_{-\infty+i \alpha}^{\infty+i \alpha} \hat{\theta}_\alpha (x_T) \mathbb{E}_{x_0} [e^{iux_T-iux_0+iux_0}] dx_T \\ &=\frac{e^{-r\tau}}{2 \pi} \int_{-\infty+i \alpha}^{\infty+i \alpha} \hat{\theta}_\alpha (x_T) \phi(u;T) e^{iux_0} dx_T \end{align}$$ donde $\phi(u;T):=\mathbb{E}_{x_0} [e^{iu(x_T-x_0)}]$ es la función característica del proceso de precios logarítmicos.

Para responder a su pregunta sobre el cálculo, existe un código MATLAB para el método de Carr y Madan. Utilizando el FUNCIÓN PRINCIPAL y la función característica BIBLIOTECA puede llamar a la función (no probada):

CallPricingFFT('BlackScholes',14,10,12,2,0.05,0)

que le devolverá el precio de la opción de compra de 1,073389...

Answer 2

Aleš Cerný tiene ejemplos muy sencillos en su libro. Alternativamente, este trabajo parece recapitular parte del capítulo sobre las series de Fourier:

Introducción a la transformada rápida de Fourier en finanzas - Aleš Cerný

Answer 3

Creo que esto entrada del blog es bastante bueno para explicar la fijación de precios de las opciones a través de las transformadas de Fourier.

Answer 4

Dejemos que $C$ sea el precio de la opción, $S_t=S_0e^{X_t}$ sea el precio de las acciones, $r$ sea la tasa libre de riesgo, $K$ sea el precio de ejercicio, $T$ sea el tiempo de maduración, $m=S_0/K$ , $f$ sea la densidad de $X_T$ y $\phi$ sea la función característica $E(e^{i\xi X_T})$ que suponemos conocida.

$$C = e^{-rT}E((S_T-K)^+) = e^{-rT}S_0\int_{-\infty}^\infty \left(e^x-m\right)\mathbb{I}_{\{x>\ln(m)\}}f(x)dx \\ = e^{-rT}S_0\int_{-\infty}^\infty e^{-ax}\left(e^{ax}\left (e^x-m\right)\mathbb{I}_{\{x>\ln(m)\}}\right)f(x)dx.$$

Amortiguamos exponencialmente el pago para asegurar que su transformada de Fourier existe. Luego reescribimos la última en términos de la transformada de Fourier inversa de la transformada de Fourier del pago amortiguado. Obsérvese que el resultado amortiguado es integrable siempre que $a<-1$ .

Ahora la transformada de Fourier del pago amortiguado es $$\mathcal{F}\left(e^{ax}\left (e^x-\frac{K}{S_0}\right)\mathbb{I}_{\{x>m\}}\right):=h(\xi) = \frac{m^{1+a+i\xi}}{(a+i\xi)(1+a+i\xi)}$$ lo que permite $$C = e^{-rT}S_0\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax}\left( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} h(\xi)e^{-ix\xi}d\xi \right) f(x)dx \\ = e^{-rT}S_0 Re\left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax}\left( \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} h(\xi)e^{-ix\xi}d\xi \right) f(x)dx \right) \\ = \frac{e^{-rT}S_0}{\pi}Re\left( \int_{0}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i(ia-\xi)x}dx \right)h(\xi)d\xi \right) \\ = \frac{e^{-rT}S_0}{\pi}S_0\ Re \left( \int_{0}^{\infty} \phi(ia-\xi)h(\xi)d\xi \right).$$ El segundo paso aquí se justifica porque el pago amortiguado es real. Por lo tanto, $h$ es par en su parte real e impar en su parte imaginaria. El tercer paso requiere el teorema de Fubini que se cumple en la mayoría de los casos de interés.

Esta expresión puede utilizarse inmediatamente para fijar el precio de una sola opción o permite la discretización en una forma compatible con la FFT. Si se utiliza la FFT con $N$ puntos de discretización el resultado será $N$ precios de las opciones calculados para $N$ niveles de $m$ (que puede ser útil para la calibración).

Véase Pascucci (2011) Métodos PDE y de martingala en la valoración de opciones (capítulo 15) para más detalles y para un método más reciente que utiliza expansiones de coseno.

P.D. He añadido una imagen de un sencillo código de Mathematica para el caso del GBM.