¿Es una combinación lineal de procesos GARCH también un proceso GARCH?

Question

Si dos series temporales siguen un proceso GARCH, y una tercera es una combinación lineal de ellas, ¿es la tercera también un proceso GARCH?

Answer 1

Creo que hay muchas formas diferentes de especificar este problema. Para simplificar, consideremos procesos Garch independientes $$ r_{1,t} \sim N\left(0,\sigma_{1,t}^{2}\right) $$ $$ \sigma_{1,t}^{2} = \beta_{1,1}+\beta_{1,2}\varepsilon_{1,t-1}^{2}+\beta_{1,3}\sigma_{1,t-1}^{2} $$ y $$ r_{2,t} \sim N\left(0,\sigma_{2,t}^{2}\right) $$ $$ \sigma_{2,t}^{2} = \beta_{2,1}+\beta_{2,2}\varepsilon_{2,t-1}^{2}+\beta_{2,3}\sigma_{2,t-1}^{2} $$ donde $\left[\begin{array}{cc} \varepsilon_{1,t} & \varepsilon_{2,t}\end{array}\right]\sim N\left(0,\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right)$ .

En este caso, la combinación lineal es igual a $$ r_{3,t} = \alpha_{1}r_{1,t}+\alpha_{2}r_{2,t} \sim N\left(0,\alpha_{1}^{2}\sigma_{1,t}^{2}+\alpha_{2}^{2}\sigma_{2,t}^{2}\right) $$

Suponiendo que los coeficientes de las ecuaciones de Garch están obligados a ser positivos y a sumar menos o igual que uno en los valores retardados, entonces $r_{3,t}$ también seguirá un proceso Garch como resultado de heredar las varianzas Garch de las otras variables.

Answer 2

No Una suma de dos procesos GARCH no suele ser un proceso GARCH.

(Ni siquiera estoy seguro de que exista un caso especial no trivial en el que se dé lo contrario).

Por GARCH me refiero a la definición clásica de GARCH debido a Bollerslev (1986) y no una variación arbitraria como EGARCH, IGARCH, FIGARCH o cualquier otra.

Permítanme dar un ejemplo. Tomemos dos procesos independientes de media condicional cero $e_{1,t}$ y $e_{2,t}$ . Que sus varianzas condicionales sigan GARCH(1,1). Entonces las ecuaciones de varianza condicional de $e_{1,t}$ y $e_{2,t}$ son

$$ \begin{aligned} \sigma_{1,t}^2 = \omega_1 + a_1 e_{1,t-1}^2 + b_1 \sigma_{1,t-1}^2; \\ \sigma_{2,t}^2 = \omega_2 + a_2 e_{2,t-1}^2 + b_2 \sigma_{2,t-1}^2. \\ \end{aligned} $$

Toma $e_t$ sea la combinación lineal más sencilla posible de $e_{1,t}$ y $e_{2,t}$ , es decir, su suma:

$$ e_t := e_{1,t} + e_{2,t}. $$

¿Seguirá su varianza condicional un proceso GARCH? Si así fuera, podríamos expresar la varianza condicional de $e_t$ como

$$ \sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^s \alpha_i e_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^r \beta_i \sigma_{t-i}^2 $$

(a GARCH( $s$ , $r$ ). Para mostrar la varianza condicional de $e_t$ sigue a GARCH( $s$ , $r$ ) tenemos que encontrar el $\omega$ , $\alpha$ s, $\beta$ s, $s$ y $r$ . ¿Se puede hacer esto?

Empecemos por escribir la varianza condicional de $e_t$ explícitamente basado en el hecho de que $e_t = e_{1,t} + e_{2,t}$ y las propiedades de $e_{1,t}$ y $e_{2,t}$ . La varianza condicional de $e_t$ será la suma de las varianzas condicionales de $e_{1,t}$ y $e_{2,t}$ (no hay covarianzas debido a la supuesta independencia):

$$ \begin{aligned} \sigma_t^2 &= \sigma_{1,t}^2 + \sigma_{2,t}^2 \\ &= \omega_1 + a_1 e_{1,t-1}^2 + b_1 \sigma_{1,t-1}^2 \\ &+ \omega_2 + a_2 e_{2,t-1}^2 + b_2 \sigma_{2,t-1}^2 \\ &= (\omega_1+\omega_2) + (a_1 e_{1,t-1}^2+a_2 e_{2,t-1}^2) + (b_1 \sigma_{1,t-1}^2+b_2 \sigma_{2,t-1}^2). \\ \end{aligned} $$

No parece posible expresar esto en términos de $\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^s \alpha_i e_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^r \beta_i \sigma_{t-i}^2$ (¿pero cómo demostrarlo formalmente?). Y este es el sencillo ejemplo en el que $e_{1,t}$ y $e_{2,t}$ son independientes (por lo que prescindimos de las covarianzas que de otro modo aparecerían en las expresiones anteriores) y los órdenes de retardo de sus respectivos procesos GARCH coinciden.

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¿Por qué llego a una conclusión diferente a la de @John? Su afirmación

Suponiendo que los coeficientes de las ecuaciones de Garch están obligados a ser positivos y a sumar menos o igual que uno en los valores retardados, entonces $r_{3,t}$ también seguirá un proceso Garch como resultado de heredar las varianzas Garch de las otras variables

es infundada, es decir, no hay ninguna prueba o derivación que la apoye. Por el contrario, las expresiones anteriores ilustran (ciertamente, sin una prueba formal) que la herencia de los dos procesos componentes no se ajusta a la forma de un modelo GARCH.

Referencias:

• Bollerslev, Tim. "Heteroskedasticidad condicional autorregresiva generalizada". Revista de Econometría 31.3 (1986): 307-327.