El paso que falta en las ecuaciones de la evolución de las comillas bursátiles

Question

Suponiendo un proceso estocástico ingenuo para modelizar los movimientos de los precios de las acciones tenemos:

$dS = \mu S dt + \sigma S \sqrt{dt}$

donde S = precio de la acción, t = tiempo, mu es una constante de deriva y sigma es un proceso estocástico.

Actualmente estoy leyendo Hull y consideran un ejemplo simple donde la volatilidad es cero, por lo que el cambio en el precio de las acciones es una simple fórmula de interés compuesto con una tasa de mu.

$\frac{dS}{S} = \mu dt$

El libro afirma que al, "Integrar entre el tiempo cero y el tiempo T, obtenemos"

$S_{T} = S_{0} e^{\mu T}$

es decir, la fórmula estándar de interés compuesto continuo. Entiendo todas las fórmulas, pero no los pasos que hay que dar para pasar de la segunda a la tercera. Puede que sea una simple petición, ya que mi cálculo está un poco oxidado, pero ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Esta es la ecuación diferencial separable para la capitalización continua simple.

Consulte este artículo, muy accesible, para obtener una derivación paso a paso (especialmente en el apartado de composición continua):
http://plus.maths.org/content/have-we-caught-your-interest

Answer 2

Haga primero su primer paso; integre ambas partes:

$$\displaystyle \ \ \int_0^T \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu T - 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$

Con difusión cero, sabemos que $\langle S_.\rangle_t = 0$ . Por lo tanto, aplicando el lema de Ito (o en realidad el cálculo normal):

$$d\ln{S(t)} = \frac{1}{S(t)}dS(t)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$

Sub esto en $(1)$ :

$$\displaystyle \ \ \int_0^T d\ln{S(t)} = \mu T$$

$$\therefore \ln{S(T)} = \ln{S(0)} + \mu T$$

$$\therefore e^{\ln{S(T)}} = e^{\ln{S(0)}}e^{\mu T}$$

$$\therefore \boxed{S(T) = S(0)e^{\mu T}}$$