Aplicabilidad de la PCA para obtener histórico volatilidades para calibrar las tasas de interés de los árboles

Question

Mi pregunta en definitiva es la siguiente: ¿puedo tomar principal componente principal de la histórica de la matriz de covarianza y usarlo como histórico volatilidades cuando el ajuste de un árbol binomial?

Aquí la descripción más detallada: supongamos que quiero construir Hull-White o la BDT árbol. Ambas tienen las tasas actuales de la curva de $r(t)$ y la volatilidad de la curva de $\sigma(t)$.

También supongamos que tengo un historial de los tipos de interés en columnas

r(1)   r(2)   r(3)   r(4)     <---- index means they are of different terms

---

 6%     7%     8%    8.5%     <----- example numbers
 4%     6.5%   9%    10%
 ...    ...    ...   ...
 7%     11%    13%   14%

¿Qué puedo hacer para estimar la volatilidad? La manera más fácil es calcular la desviación estándar de las diferencias de los valores en cada columna (la esperanza es evidente a qué me refiero).

Otro enfoque es obtener toda la matriz de covarianza $\Omega$, que elementos son $\Omega_{i,j} = \sigma_i \sigma_j \rho_{i,j}$. En este caso nuestro desviaciones estándar de enfoque anterior se acostará sobre la diagonal principal de la matriz.

Lo que ahora podemos hacer es aplicar PCA, por lo que para tener una matriz de covarianza descompuesto en sus componentes principales. Esto significa que se descomponen cómo matriz $\Omega$ múltiplos por algunos vector de $x$ en la siguiente forma: $\Omega x = \left(\lambda_1 u_1 u_1^T + ... + \lambda_N u_N u_N^T\right)$ x. Y si me tome la primera a la principal componenent $u_1$ que corresponde a la mayor $\lambda$, tengo algunas vector con volatilies a lo largo del tiempo, lo que da más efecto: $\Omega x \approx \lambda_1 u_1 u_1^T x$.

Así que, quiero entender si me pudieran usar $u_1$ en lugar de vector de simple desviaciones estándar, con la esperanza de que tal elección me ayudará a captar de la mejor estructura a plazo de comportamiento?

Answer 1

El primer componente del principio de las tasas de interés no va a ayudar a la captura de la estructura a plazo el mejor en todo. Es, básicamente, eliminar todo el plazo de la estructura afecta a los que van a ver.

Cuando descomponemos los rendimientos de las tasas de interés que se va a conseguir 3 PC que explican el 99,9% de la varianza.

PC1 - Nivel de las tasas de interés (~90% de la varianza) PC2 - Pendiente de las tasas de interés (~8% de la varianza) PC3 - Curvatura de las tasas de interés (~2% de la varianza)

Pronóstico de la volatilidad de las opciones de fijación de precios es difícil y no creo que la PCA es que va a ser tu una tienda de la parada para una buena estimación.

Answer 2

Un camino a seguir sería linealmente construir indepedant las tasas de interés para eliminar la correlación de los efectos. ¿Cómo hacer eso ? Usted linealmente construir ortogonal de las tasas de interés de su partida queridos. Esto es totalmente equivalente a diagonalising matriz de correlación, que es el principio de la PCA.

El uso de criterios de información puede, a continuación, elija eliminar más bajo de los componentes, pero utilizando sólo la primera sin la comprobación de otros sería un error. La reducción de la dimensión con PCA.

Sobre el binomio árboles, de lo que recuerdo binomio de árboles y conjuntos de datos multivariantes no va bien. Para m dimensiones, cada paso se multiplican las ramas por $2^{m}$, y usted debe tener N paso donde N es grande. Incluso si hay recombinación usted va a terminar con $N^{m}$ valores (además de todos los valores intermedios). Las operaciones necesarias crecer más de exponentialy con la dimensión, que rápidamente se cumple un poder de computación de la barrera. Recuerdo a un profesor diciendo que el binomio árbol no son adecuados para m>2.

(Y eso es sólo para la construcción del árbol, supongo que usted quiere trabajar con ella después de la construcción de... no puede añadir más complejidad).