¿Por qué los quants piensan que la medida de riesgo neutro no debe utilizarse para las previsiones financieras?

Question

En los puestos relativos a la $\mathbb{P}$ vs $\mathbb{Q}$ debate (véase 1 , 2 , 3 o 4 ), la mayoría de las respuestas concluyen que las previsiones basadas en el historial son más adecuadas que los modelos neutrales al riesgo para las predicciones financieras.

Sin embargo, esta conclusión parece estar basada en creencias sentimentales. De hecho, los análisis empíricos que comparan las predicciones históricas y las neutrales al riesgo tienden a concluir que los modelos neutrales al riesgo funcionan mejor que los modelos históricos. Véanse, por ejemplo, estos trabajos recientes: 1 , 2 o estas encuestas exhaustivas: 1 y 2 .

Si bien es cierto que las predicciones neutrales al riesgo tienen defectos teóricos, una evaluación racional implicaría: (i) evaluar cómo estos defectos afectan realmente a las predicciones futuras y (ii) comparar los defectos observados en las predicciones neutrales al riesgo con los sesgos de los modelos históricos.

Sin embargo, dado que la mayoría de la gente parece tener ya una opinión notablemente fuerte, esta precondición podría estar relegando lo que debería ser, conceptualmente, el núcleo de la discusión (es decir: realizar análisis empíricos y comparar modelos de previsión con una visión agnóstica)

Entonces, ¿por qué adoptamos esa visión preconcebida respecto a las predicciones neutrales al riesgo?

Answer 1

Hay una cuestión más profunda. Las distribuciones frecuentistas no son distribuciones de probabilidad porque están diseñadas para ser distribuciones minimax en lugar de distribuciones reales. Esto ignora todos los demás problemas y esto también ignora el riesgo neutral frente a cualquier otra medida de aversión al riesgo.

Un problema aún más profundo es que estos modelos presuponen que los parámetros son conocidos. Si se tiene un modelo de riqueza como $w_{t+1}=Rw_t+\epsilon_{t+1}$ , donde $\epsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2_t)$ , entonces si $R$ y $\sigma^2_t$ son conocidos, entonces los resultados de la media-varianza son los siguientes. Sin embargo, si no se conocen los parámetros, entonces nunca se podrán conocer.

Ver:

White, J. S. (1958). The limiting distribution of the serial correlation coefficient in the explosive case. The Annals of Mathematical Statistics, 29(4):1188-1197

Esta impactante prueba, cuando se combina con la prueba de Mann y Wald

Mann, H. y Wald, A. (1943). Sobre el tratamiento estadístico de las ecuaciones estocásticas lineales lineales estocásticas. Econometrica, 11:173-200.

Implica que si los modelos de media-varianza son verdaderos, entonces no se puede construir ninguna solución utilizando sus axiomas.

Sin embargo, para la solución de la cuestión que usted plantea, véase

Harris, D.E.(2017) La distribución de los rendimientos. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804,

que deriva las distribuciones de los rendimientos. Puede utilizarlas como funciones de verosimilitud bayesiana y llegar a una distribución predictiva coherente.

La distribución predictiva bayesiana es: $$\Pr(\tilde{x}=k|\mathbf{X})=\int_{\theta\in\Theta}\Pr(\tilde{x}=k|\theta)\Pr(\theta|\mathbf{X})\mathrm{d}\theta,\forall{k}\in\chi,$$ donde $\chi$ es el espacio muestral, $\Theta$ es el espacio de los parámetros, $\theta$ es un parámetro o vector de parámetros en $\Theta$ , $\mathbf{X}$ es la muestra observada y $\tilde{x}$ es un valor previsto.

Observe que $\Pr(\tilde{x}|\mathbf{X})$ no depende de los valores de $\theta$ ya que cualquier incertidumbre en cuanto a su valor real se ha marginado, de modo que la predicción sólo depende de la información observada.

La distribución predictiva de $\tilde{x}$ es coherente para que un corredor de apuestas, o un creador de mercado, ofrezca precios o probabilidades basados en la información de $\mathbf{X}$ no puede ser jugado y tener una pérdida segura por un actor o conjunto de actores astutos. Esto nunca es cierto para las soluciones frecuenciales. Se puede amañar un juego basado en una estadística frecuentista si se es lo suficientemente astuto.

Mientras que el modelo frecuencial asume que los parámetros son conocidos, el modelo bayesiano termina con el resultado de que no importan para hacer una predicción. Se trata de un resultado poderoso. El primero es frágil, el segundo es robusto.

En cuanto a la razón por la que adoptamos estos puntos de vista tan fuertes, es porque somos personas. Incluso los economistas que no trabajan para la calle tienen intereses creados. Es un reto ser un científico cuando tu salario está ligado a tus resultados.

Answer 2

En su libro "Counterparty Credit Risk, Collateral and Funding", D. Brigo, M. Morini y A. Pallavicini comienzan con un diálogo entre un doctor en física y un experimentado profesional de las finanzas cuantitativas.

El tema de P vs Q se presenta en ese diálogo de manera que sea comprensible para un recién llegado. Sin duda, le recomiendo que le eche un vistazo.

Este diálogo también está disponible en el arXiv .

También añado un par de citas de ese diálogo:

.. " Q: Bien. Simulamos bajo P porque queremos las estadísticas de riesgo de la cartera en el mundo real, bajo la medida de probabilidad física, y no bajo la llamada medida de precios Q" ..

.. " Q: ¿Y cómo se relaciona esta Q con P? [todavía desconcertado] A: Las dos medidas están relacionadas por una relación matemática que de- depende de la aversión al riesgo, o del precio de mercado del riesgo. En los modelos más sencillos la tasa de rendimiento real esperada viene dada por la tasa libre de riesgo más el precio de mercado del riesgo multiplicado por la volatilidad. De hecho, la rentabilidad "esperada" de un activo depende de la probabilidad de que de un activo depende de la medida de probabilidad que se utilice. Por ejemplo Por ejemplo, bajo P la tasa media de rendimiento de un activo es difícil de estimar, mientras que bajo Q se sabe que la tasa de rendimiento será la tasa libre de riesgo de riesgo, ya que la dependencia de la tasa de rendimiento real puede evitarse mediante técnicas de replicación. [empieza a parecer cansado]"

Answer 3

¿Quizás un caso de opiniones basadas en posibilidades teóricas más que en realidades empíricas?

En teoría, $P$ y $Q$ puede ser extremadamente diferentes

• $P$ es la medida de probabilidad real del mundo.
• $Q$ es una medida de probabilidad artificial construida para que los precios de los valores sean expectativas neutrales al riesgo (descontadas al tipo libre de riesgo) bajo la medida $Q$ .

La conexión entre ambos es a través de precios estatales . Si los precios estatales son constantes, entonces $P$ y $Q$ son los mismos. Pero con precios estatales arbitrarios, $P$ y $Q$ pueden hacerse arbitrariamente diferentes entre sí. La probabilidad de un huracán bajo la medida de riesgo neutro puede desviarse arbitrariamente de la probabilidad de un huracán bajo la medida de probabilidad real dependiendo del precio de mercado del riesgo de huracán. Si los precios del riesgo son lo suficientemente extremos, un acontecimiento con una probabilidad del 1% puede tener una probabilidad del 20% bajo la medida de riesgo neutral. (La teoría económica puede tener alguna objeción a esto, pero la matemática básica de la fijación de precios neutrales al riesgo no la tiene).

Revisión rápida: el núcleo de precios se conecta $P$ y $Q$

Dejemos que $p(X)$ sea una función de fijación de precios de los activos que devuelva el precio de la retribución $X$ . Si $p$ es lineal, entonces puede escribirse como un producto interno del pago $X$ con un núcleo de precios $\pi$ . $$p(X) = \mathbb{E}^P\left[ \pi X \right]$$

Entonces defina la derivada de Radon-Nikodym $\frac{dQ}{dP} = \pi R_f$ y realizar un cambio de medida. $$ p(X) = \frac{1}{R_f}\mathbb{E}^P\left[\frac{dQ}{dP}X \right] = \frac{1}{R_f} \mathbb{E}^Q[X] $$

Así que dependiendo de qué núcleo de precios $\pi$ es, alguna noción de distancia entre $P$ y $Q$ podría ser bastante grande (ya que el $p$ La suposición, por sí sola, no impone restricciones significativas a $\pi$ ).

Answer 4

La densidad neutra de riesgo es un truco matemático para permitir la fijación de precios de las opciones. Como tiene poca relación con la realidad, no tiene mucho sentido simular a partir de ella con el fin de prever resultados reales.

Yo diría que cualquier artículo que demuestre que la densidad neutra al riesgo pronostica mejor que el mundo real está sufriendo un problema de especificación o de estimación.

Quizás el mejor estudio empírico que he visto sobre el tema es el siguiente trabajo, que examina la densidad del mundo real, la densidad neutral al riesgo y la relación entre ambas para el modelo (muy general) CGMY:

http://finance.martinsewell.com/stylized-facts/distribution/CarrGemanMadanYor2002.pdf

Answer 5

No estoy seguro de llamarlo "subjetivo" o "precondicionado". Tradicionalmente, garantizar la ausencia de arbitraje es un principio rector para la fijación de precios, mientras que la medida de neutralidad del riesgo se utiliza con mayor frecuencia para los resultados teóricos. Suponiendo que vaya a utilizar sus previsiones para actividades de negociación, utilizar el AoA para determinar el precio es el camino correcto.

Consideremos un caso sencillo en el que el valor esperado de un contrato a plazo es el precio al contado compuesto por el "tipo sin riesgo" actual. No estoy seguro de cómo se puede argumentar que la fijación de precios/previsión de un contrato a plazo utilizando el tipo libre de riesgo sea apropiada en algo que no sea un mundo teórico de riesgo neutro. Lo mismo ocurre con casi todos los activos. No obstante, me encantaría ponerme en el otro lado de la operación si no estás de acuerdo.