Cuando el riesgo está definido por una variable aleatoria discreta, ¿es el CVaR una medida de riesgo coherente? Me atengo a la siguiente definición de CVaR:
$$ CVaR_\alpha(R) = \min_v \quad \left\{ v + \frac{1}{1-\alpha} \mathbb{E}[R-v]^+ \right \}$$
donde $R$ es la variable aleatoria DISCRETA de la pérdida y $\alpha$ es el nivel de confianza.
Encontré este documento: Valor en riesgo condicional para distribuciones de pérdidas generales por Rockafellar y Uraysev http://dx.doi.org/10.1016/S0378-4266(02)00271-6
que dice que el CVaR es coherente para las distribuciones de pérdidas generales, incluidas las distribuciones discretas.
Creo que me confundí con otros autores que también se confundieron con las definiciones de CVaR. En particular, en el siguiente artículo, el autor afirma erróneamente que la expectativa condicional de cola (TCE) es lo mismo que el CVaR, y no son coherentes.
http://dx.doi.org/10.1016/S0378-4266(02)00281-9
Sin embargo, el TCE no es lo mismo que el CVaR en general. Si la distribución subyacente es continua, son iguales.
$VaR^\alpha$ no es una medida de riesgo coherente porque falla la subaditividad (a medida de riesgo coherente es monótona, subaditiva, homogénea positiva e invariante por traslación). El operador de expectativa $E[\cdot]$ es lineal, por lo que cumple la subaditividad, así como las otras tres propiedades, por lo que $CVaR$ es una medida de riesgo coherente.
El VaR condicional (CVaR), también llamado Expected Shortfall, es una medida de riesgo coherente (aunque se deriva de una no coherente, el VaR).
Véase este documento:
El déficit esperado: una alternativa natural y coherente al valor en riesgo
de Carlo Acerbi y Dirk Tasche
http://www.bis.org/bcbs/ca/acertasc.pdf
EDIT: Acabo de ver que has hecho hincapié en discreto pero eso no debería cambiar la situación general.
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