Ejemplos prácticos de aplicar el lema de Ito

Question

En la mayoría de los libros de texto se deriva la demostración del lema de Ito (en diferentes niveles de tecnicidad dependiendo del público objetivo) y luego solo se presentan los ejemplos clásicos de movimiento Browniano geométrico y la ecuación de Black-Scholes.

Mi pregunta
Estoy buscando referencias donde se presenten muchos ejemplos de aplicación del lema de Ito de una manera fácil de seguir, paso a paso. También se deben cubrir casos más avanzados.

Answer 1

Estos son todos ejemplos de la Fórmula de Ito en su forma general (con variaciones cuadráticas):

Answer 2

Pensé que este era un ejemplo interesante para agregar. Se trata de un "modelo de proporción" de hábito (en contraposición a un "modelo de diferencia" de hábito). Véase, por ejemplo, Abel (1990, American Economic Review). Deje que $$ x_t = \lambda \int_{-\infty}^t e^{-\lambda(t-s)} c_s ds. $$ (Para contexto, $x_t$ es un índice de hábito logarítmico que se obtiene mediante un promedio geométrico del consumo pasado, donde $c_t$ es el logaritmo del consumo). Luego, por la fórmula de Ito, \begin{align} d x_t &= \lambda \int_{-\infty}^t -\lambda e^{-\lambda(t-s)} c_s ds \, dt + \lambda c_t dt \\ &= \lambda (c_t - x_t) dt. \end{align> La parte que me resulta interesante es que es fácil equivocarse pensando que la respuesta es $dx_t = \lambda c_t dt$ o $d x_t = -\lambda x_t dt.

EDICIÓN: Aquí, $c_s$ es algún proceso estocástico bien comportado. Esto es esencialmente lo mismo que 9-1 (a) anteriormente cuando $dc_t = dW_t$, donde $W$ es una movimiento browniano. Este tipo de cálculo parece aparecer con cierta frecuencia (modelo de tasa de interés Hull-White), pero no parece utilizar directamente el lema de Ito.