Ejemplos de trabajo de la aplicación del lema de Ito

Question

En la mayoría de los libros de texto se deriva la lema de Ito (en diferentes niveles de tecnicidad dependiendo de la audiencia prevista) y luego solo se dan los ejemplos clásicos de Movimiento Browniano Geométrico y la ecuación de Black-Scholes.

Mi pregunta
Estoy buscando referencias donde se den muchos ejemplos trabajados de aplicar la lema de Ito de manera fácil de seguir, paso a paso. También se deben cubrir casos más avanzados.

Answer 1

Estos son todos ejemplos de la Fórmula de Ito en su forma general (con variaciones cuadráticas):

Answer 2

Me pareció que este era un ejemplo interesante para agregar. Se trata de un "modelo de proporción" de hábito (en oposición a un "modelo de diferencia" de hábito). Véase, por ejemplo, Abel (1990, American Economic Review). Deje $$ x_t = \lambda \int_{-\infty}^t e^{-\lambda(t-s)} c_s ds. $$ (Para poner en contexto, $x_t$ es un índice de hábito logarítmico que se calcula como un promedio geométrico del consumo pasado, donde $c_t$ es el consumo logarítmico.) Entonces, por la fórmula de Ito, \begin{align} d x_t &= \lambda \int_{-\infty}^t -\lambda e^{-\lambda(t-s)} c_s ds \, dt + \lambda c_t dt \\ &= \lambda (c_t - x_t) dt. \end{align> La parte que me resulta interesante es que es fácil cometer el error de pensar que la respuesta es $dx_t = \lambda c_t dt$ o $d x_t = -\lambda x_t dt.

EDICIÓN: Aquí, $c_s$ es algún proceso estocástico bien comportado. Esto es esencialmente lo mismo que 9-1 (a) anteriormente cuando $dc_t = dW_t$, donde $W$ es una marcha Browniana. Este tipo de cálculos parece aparecer con cierta frecuencia (modelo de tasa de interés Hull-White), pero no parece utilizar directamente el lema de Ito.