Ejemplos de trabajo de aplicación del lema de Ito.

Question

En la mayoría de los libros de texto se deriva la Lema de Ito (en diferentes niveles de tecnicidad dependiendo de la audiencia prevista) y luego solo se presentan los ejemplos clásicos de Movimiento Browniano Geométrico y la fórmula de Black-Scholes.

Mi pregunta
Estoy buscando referencias donde se proporcionen muchos ejemplos trabajados de aplicación de la Lema de Ito de manera fácil de seguir, paso a paso. También deberían cubrirse casos más avanzados.

Answer 1

Estos son todos ejemplos sobre la Fórmula de Ito en su forma general (con variaciones cuadráticas):

Answer 2

Pensé que este era un ejemplo interesante para añadir. Se trata de un "modelo de proporción" de hábito (en oposición a un "modelo de diferencia" de hábito). Ver, por ejemplo, Abel (1990, American Economic Review). Deja que $$ x_t = \lambda \int_{-\infty}^t e^{-\lambda(t-s)} c_s ds. $$ (Para poner en contexto, $x_t$ es un índice de hábito logarítmico que se obtiene a través de un promedio geométrico de consumos pasados, donde $c_t$ es el logaritmo del consumo). Entonces, por la fórmula de Ito, \begin{align} d x_t &= \lambda \int_{-\infty}^t -\lambda e^{-\lambda(t-s)} c_s ds \, dt + \lambda c_t dt \\ &= \lambda (c_t - x_t) dt. \end{align> La parte que me resulta interesante es que es fácil caer en el error de pensar que la respuesta es $dx_t = \lambda c_t dt$ o $d x_t = -\lambda x_t dt.

EDICIÓN: Aquí, $c_s$ es algún proceso estocástico bien comportado. Esto es esencialmente lo mismo que 9-1 (a) arriba cuando $dc_t = dW_t$, donde $W$ es un movimiento Browniano. Este tipo de cálculo parece aparecer con cierta frecuencia (modelo de tasa de interés Hull-White), pero no parece utilizar directamente el lema de Ito.