Me gustaría saber si alguien podría proporcionar una visión resumida de las ventajas y desventajas de los enfoques sobre las cuestiones de la superficie de la volatilidad, como:
El superficie de volatilidad no es más que una representación de los precios de las opciones europeas en función del precio de ejercicio y del vencimiento en una "unidad" diferente, a saber, la volatilidad implícita (mientras que el término volatilidad implícita debe precisarse según el modelo utilizado para convertir los precios (comillas) en volatilidades implícitas, por ejemplo: podemos considerar vols log-normales y vols normales). A menudo se prefiere la volatilidad a los precios, por ejemplo, cuando se consideran interpolaciones de los precios de las opciones europeas (aunque esto puede introducir dificultades como las violaciones del arbitraje, véase, por ejemplo http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1964634 ).
A modelo de volatilidad local puede generar un ajuste perfecto a la superficie de volatilidad implícita mediante la fórmula de Dupire siempre que la superficie dada esté libre de arbitraje. En otras palabras: el modelo puede calibrarse a una superficie de precios de opciones europeas. Dado que esta calibración se realiza mediante una fórmula analítica, la calibración es exacta y rápida.
Los modelos paramétricos, como volatilidad estocástica modelos, suelen ser más difíciles de calibrar para el precio de la opción Europen. Las fórmulas que se derivan para la calibración suelen ser más complejas y a menudo el modelo no produce un ajuste exacto. Obviamente, la razón para utilizar un modelo de volatilidad estocástica (o un modelo paramétrico) no viene dada por la necesidad de calibrar a las opciones europeas. La razón es capturar otros efectos del modelo. Un efecto importante que hay que tener en cuenta es el volatilidad futura . Sea $t=0$ denotan la actualidad. Dado que el modelo está calibrado con la superficie de volatilidad implícita. ¿Cómo es la superficie de volatilidad generada por el modelo en $t=t_1$ en el estado $S(t_1) = S_1$ ? La volatilidad a plazo describirá el precio de la opción condicionado a un momento futuro. Es importante para las "Opciones sobre opciones" y las "Opciones de inicio a plazo". En otras palabras: Los productos más exóticos dependen de esta característica. Mientras que la opción europea sólo depende de las distribuciones terminales condicionales al día de hoy, dicha característica depende de la dinámica (probabilidades de transición condicionales). En un modelo de volatilidad local, la volatilidad a plazo muestra un comportamiento posiblemente irreal: se aplana. La sonrisa se desvanece. Un modelo de volatilidad estocástica puede producir una superficie de volatilidad a plazo más realista, en la que la sonrisa es casi auto similar..
Otro aspecto son las sensibilidades (ratios de cobertura): Utilizar un modelo de volatilidad local puede implicar una suposición demasiado rígida sobre cómo la superficie de volatilidad depende del spot. Esto tiene implicaciones en el cálculo de las sensibilidades (griegas). Según parece, esta fue la principal motivación para introducir el modelo SABR (que es un modelo de volatilidad estocástica utilizado para interpolar la superficie de volatilidad implícita): para tener un comportamiento más realista con respecto a las griegas).
Para resumir:
Modelo de volatilidad local :
Modelo de volatilidad estocástica :
No tengo tiempo ahora mismo para escribir un resumen lo suficientemente conciso pero al mismo tiempo tratando de tocar realmente todos los puntos que hay que hacer para delinear lo anterior. En su lugar, le remito a un par de documentos lo suficientemente concisos como para hojearlos en cuestión de minutos y comprender las diferencias.
Jim Gatheral en el Local vs Stoch Vols: http://www.math.ku.dk/~rolf/teaching/ctff03/Gatheral.1.pdf
Aquí hay un gran artículo que aborda prácticamente todos los modelos existentes (los más publicados, obviamente): http://wiredspace.wits.ac.za/bitstream/handle/10539/1495/lisa.pdf;jsessionid=CD3D69EBEFFD957D0B7BB5293E92C7DA?sequence=1
Por cierto, los modelos estocásticos y paramétricos no suelen estar claramente divididos, hay una serie de modelos de vol estocástico que utilizan técnicas de parametrización y calibración. En cambio, lo que sí puede interesar es en qué tipo de volatilidad se basa el modelo, por ejemplo, volatilidad integrada no observada o volatilidad instantánea. También hay que centrarse en la dinámica de la volatilidad y en si la dinámica de un determinado modelo se corresponde con la dinámica del mercado observada. Esta misma razón fue uno de los principales motivos por los que surgió el modelo SABR.
Sólo mis dos centavos ;-)
Puedo comentar ya que Jim Gatheral es en realidad mi mentor.
Las ventajas y desventajas de la volatilidad estocástica, de la volatilidad local y de la volatilidad parametrizada dependen realmente del uso que se le dé. Si se utiliza para valorar opciones exóticas, la vol. estocástica es generalmente un principio más aceptado que la vol. local, porque la vol. estocástica asume superficies de volatilidad homogéneas en el tiempo, mientras que la vol. local asume que el sesgo de la vol. a plazo que se calcula hoy es el que tendrá el sesgo de la vol. en el futuro + algún término estocástico. La vol parametrizada se recomienda generalmente para valorar las opciones/intercambios de volatilidad del VIX, así como para los creadores de mercado.
Un ejemplo para mostrar la diferencia entre vol local y vol estocástico es cubrir una opción de un toque que es el equivalente a una opción binaria americana. La cobertura para esto sería comprar un call spread que vence en breve y seguir comprando el call spread hasta que el one touch expire o se ejerza. Dado que asumimos que el sesgo atm en el futuro será lo que vemos hoy en el sesgo forward en vol local, el precio será menor para el call spread. Mientras que en la vol. estocástica, asumimos que el sesgo atm actual es el que veremos en el futuro, por lo que el precio del call spread será más caro en vol. estocástica que en vol. local.
El mejor resumen que he visto hasta ahora (en términos de teoría Y practicidad) está en
Paul Wilmott On Quantitative Finance Segunda Edición , pp. 826 - 830:
Puedes encontrar el inicio: Aquí
...y la visión general y el resumen de cierre: Aquí
(Lamentablemente, no he encontrado el extracto completo en la web, pero estaría encantado de incluir un enlace en esta respuesta [siempre que se refiera a una copia legal]; sólo tienes que decírmelo en los comentarios).
En términos de delta del modelo, los modelos de volatilidad local y estocástica calibrados a la misma superficie de vainilla producen el mismo delta (de varianza mínima). Lo que marca la diferencia es la forma de calcular el delta del modelo cosnsitente con la dinámica empírica - ver aquí Modelo de Volatilidad Estocástica Log-Normal: Calibración empírica y delta del modelo ( http://ssrn.com/abstract=2387845 )
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