Estrictamente local martingales: ¿qué es la intuición detrás de ellos?

Question

Un proceso de $X_t$ es una martingala local si para cada secuencia de los tiempos de parada $\{\tau_k,k=1,2,...\}$ el proceso detenido es una martingala. Todos los verdaderos martingales son locales martingales, pero el inverso no es cierto. Una estricta local de la martingala es una martingala local que no es un verdadero martigale. De hecho, una positiva estricta local martingala es un supermartingale -- es decir, la expectativa disminuye con el horizonte.

En cuanto finanzas estrictamente local martingales han aparecido como los modelos que presentan la volatilidad inducida por la estacionariedad o modelos que describen las burbujas financieras.

Todos los procesos de Ito desrcibed por un 'driftless SDE" en realidad local martingales, pero no martingales (lo cual es sorprendente para muchos). Por ejemplo el conocido movimiento Browniano Geométrico $$dX_t = X_t\ dW_t$$ es una martingala local y un verdadero martingala, mientras que el CEV modelo con exponente mayor que uno $$dY_t = Y_t^\alpha\ dW_t \text{ (por }\alpha > 1\text{)}$$ es una martingala local, pero no un verdadero martingala. De hecho, a partir de $Y_0$ la expectativa de $$E[Y_t|\mathcal{F}_0] < Y_0 \text{ (para todos }t>0\text{)}$$

Mi pregunta es sobre el intution detrás de su dinámica y las rutas:

• ¿Cuáles son las características cualitativas que romper el martingality para que tal proceso como $\alpha$ cruza 1?
• Cómo hacer rutas de estricta local martingales apariencia (contra el verdadero martingales)? Ellos no son explosivos, que no golpear a cero, y no puedo ver nada en particular 'extraño' o 'inusual' cuando me parcela ellos.
• ¿Cómo es que incluso cuando me simular este proceso (Euler) puedo obtener una deriva negativa, a pesar de que yo soy la adición de un número finito de Gaussianas con cero significa (aunque estrictamente local martingales son sólo un tiempo continuo fenómeno)?

Este blog analiza estos puntos, pero estoy buscando algo más alto nivel y (si es posible) intuitiva.

Answer 1

Creo que para entender la martingala/local martingala distinción, ayuda a traer una tercera clase de procesos, la uniformemente integrable martingala. Yo diría que la martingala local y la no-uniformemente integrable (true) martingala en realidad son bastante similares.

La propiedad clave que un uniformemente integrable martingala tiene es el llamado cierre de la propiedad. Vamos a $M_t, 0 \leq t < \infty$ ser uniformemente integrable (UI) de martingala. Entonces $M$ tiene un último elemento $M_\infty$, y el proceso extendido $M_t, 0 \leq t \leq \infty$ es una martingala, y usted puede calcular $E[M_\infty | \mathcal{F}_t ]$ para obtener todos los valores intermedios de la martingala. Sabemos que si una martingala no es uniformemente integrable, entonces este no es el caso.

Un buen ejemplo es en realidad el movimiento browniano geométrico, que voy a llamar a $X_t$. Sabemos que casi seguramente como $t \rightarrow \infty, X_t \rightarrow 0$, aunque para todos $t$ $E[X_t] = 1$. En el límite, como $t \rightarrow \infty$, la martingala pierde su masa. Este fenómeno es, de hecho, exactamente lo mismo que está sucediendo con estricto local martingales.

Considere la posibilidad de alguna función que se asigna a la unidad de intervalo de los reales positivos, como $f(x) = \tan x$. Considerar el proceso $\widetilde{X}_t := X_{f(t)}, 0 \leq t \leq 1$. Ahora se dará cuenta de que en la unidad de intervalo $[0,1]$, $\widetilde{X}$ es un estricto local de martingala. La secuencia de los tiempos de parada sólo puede ser llevado a ser determinista números en aumento a $1$.

Espero que este ejemplo muestra cómo estricto local martingales y no uniformemente integrable martingales son, en efecto, la misma cosa. La propiedad crucial es que sus martingality no se extiende a "el cierre del intervalo de tiempo". Esto sucede porque, en algún lugar, tiene un conjunto de variables aleatorias que no es uniformemente integrable, y así de paso al límite, no tiene continuidad en $L^1$.

Para responder un par de preguntas:

1. ¿Qué rutas de acceso como creo que mi discusión anterior muestra que realmente no hay diferencia entre la ruta de acceso local comportamiento de una estricta local de martingala, y la ruta de acceso local comportamiento de un verdadero martingala. La ruptura se produce en el límite. De hecho, este es de donde viene el nombre: a nivel local, un local de martingala hace ver como una martingala.

2. Simulación Cuando se simula, usted debe obtener el corrimiento del cero. En el límite donde la masa se perderán. Es difícil de decir, ¿hay un subdesbordamiento cuando $Y$ es pequeño?

Answer 2

Usted está pidiendo una pregunta interesante.

En primer lugar, un Submartingale que cada vez tiene más o igual expectativa (no decreciente).

En segundo lugar, el proceso de $dX_t=X_tdW_t$ es un verdadero martingala (no estrictamente local), ya que su solución (por Ito):

$$X_t=X_0e^{W_t-\frac{t}{2}}$$

ha $E(X_t)=X_0$ constante expectativa ($e^{-\frac{t}{2}}E(e^{W_t})=1, W_t\sim N(0,t)$). La deriva negativa proviene de $W_t$'s distinto de cero cuadrático de variación. Desde $e^X$ es siempre positivo, no debe ser un factor corrector $-t/2$ para garantizar la martingala expectativa de la propiedad.

La dinámica es similar a la del Modelo Black-Scholes:

$$dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t)$$

ha conocido la solución

$$S_t=S_0e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2) t +\sigma W_t}$$

Este proceso no es una martingala porque su deriva, se convierte así después de aplicar un cambio de la medida a $P$.

Answer 3

Parece que uniformemente integrable martingales, como se describe por cuasi, cuenta para una clase específica de estricta local martingales.

Una martingala en $[0,\infty)$ que no es uniformemente integrable (como el movimiento Browniano geométrico) es uniformemente integrable martingala en $[0,t]$ por cada $t\in [0,\infty)$. En consecuencia, la asignación de $[0,\infty]$ en $[0,1]$ como acabamos de hacer, se crea una martingala local que es un verdadero martingala en cada intervalo $[0,s]$ para $s\in [0,1)$. El local de la propiedad de martingala, que sólo aparece en $1$ (como la no-integrabilidad uniforme apareció en $\infty$).

Sin embargo, la estricta local martingales como $Y$, la solución de la CEV modelo dado como ejemplo por Kiwiakos, son estrictos en cada intervalo $[0,s]$ para $s\in [0,1)$ ($E[Y_s]$ es estrictamente decreciente en $s$). Esto sugiere que los procesos no están asociados con un no-uniformemente integrable verdadero martingala en $[0,\infty)$. Además, aquí los tiempos de parada será en general dependiente del trayecto (y no determinista).

No sé si para local de martingales todavía se puede relacionar ruta de acceso local comportamiento no-uniformemente integrable martingales, sin embargo, al ver el local de la propiedad de martingala como aparecen en un único "punto de cierre" parece demasiado estrecha.

Answer 4

@emcor esto es interesante. Un registro normal de martingala tiene la mayoría de las rutas de acceso a la deriva hacia abajo. Y así parece comportarse como un supermartingale. Si desea verificar, simular un BS modelo de deriva $\mu < \frac{1}{2}\sigma^2$ y verificación. Casi todas las rutas de acceso a la deriva hacia abajo. Usted debe tratar de pensar por qué esto ha de ser, aunque lo suficiente simulaciones numéricas se explicará por qué. La clave es la martingality, que es un expectational característica. Dupire tiene este resultado en sus diapositivas.

Cualquier comentario? FYI, cualquier proceso sin deriva esencialmente de comportarse como un Browniano creo.