¿Por qué una unidad de acción vale $S_T$ un numerario válido? ¿$S_T^2$ es un numerario válido?

Question

Cuando cambiamos los numerarios de $M$ a $S$, cambiamos la medida de $\mathbb{Q}^M$ a $\mathbb{Q}^S$. Obtuve una fórmula en forma cerrada para el payoff $S_T(S_T - K)\mathbf{1}_{\{S_T > K\}}$ aquí. ¿Cómo puedo probar rápidamente si $f(S_T)$ califica como numerario? Intuitivamente, los valores descontados $f(S_T)/M(T)$ deben ser martingalas bajo $\mathbb{Q}^M$. ¿Mis explicaciones son correctas?

1. ¿Cómo puedo argumentar que una unidad de acciones (sin dividendos) $S_T$ es realmente un numerario válido?

La variable aleatoria

$$ \begin{align*} Z_T = \frac{S_T/S_0}{M_T/M_0}=\exp\left(-\frac{\sigma^2}{2}T + \sigma W^{\mathbb{Q}^M}_T\right) \end{align*} $$

que es una martingala de $\mathbb{Q}^M$, con $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^M}[Z] = 1$. Por lo tanto, puedo construir $\mathbb{Q}^S(A) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^M}[Z1_A]$, es una medida válida.

2. ¿Cómo puedo argumentar que una acción que paga dividendos no califica como numerario?

La variable aleatoria

$$ \begin{align*} Z_T = \frac{S_T^{div}/S_0^{div}}{M_T/M_0}=\exp\left(\left(-q -\frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma W^{\mathbb{Q}^M}_T\right) \end{align*} $$

que no es una martingala de $\mathbb{Q}^M$, con $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^M}[Z] = e^{-qT}$. Por lo tanto, no podemos construir $\mathbb{Q}^{S^{div}}$.

3. ¿Son válidos como numerarios los poderes del precio de la acción $S_T^{\alpha}$, $\alpha > 1$?

Answer 1

Dices correctamente: si $N_t$ es el antiguo numerario, cualquier activo $M$ tal que $\frac{M_t}{N_t}$ sea un N-martingala es un numerario válido (siempre y cuando sea positivo).

Esto significa que un numerario debe ser un activo negociable y $S_t^2$ no lo es (tiene convexidad y puedes fijar el precio de una opción en él, pero $S_t^2$ nunca es el proceso de precio de un activo negociable).

Puedes ver por qué la restricción: toma un modelo simple con una cuenta bancaria $B_t$ (tasas determinísticas = 0) y una acción que no paga dividendos.

Cuando cambias de medida, el drift de $S_t$ cambia, y solo eso. Ambos activos ($B_t$ y $S_t$) deben permanecer martingalas al descontarlas por cualquier numerario.

• Si $S_t$ es un numerario, esto significa que $\frac{B_t}{S_t}$ y $\frac{S_t}{S_t}=1$ deben ser martingalas. Y es posible ya que esta es realmente solo 1 restricción (la de $B_t$).

• Si permitieras que $S_t^2$ sea un numerario, entonces no podrías hacer que tanto $\frac{B_t}{S_t^2}$ como $\frac{S_t}{S^2_t}=\frac{1}{S_t}$ sean martingalas al mismo tiempo cambiando solo un drift.

• Si la acción paga dividendos, la acción reinvertida es un numerario válido.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario:

Solo para agregar a la respuesta de Andrea, si $X_T$ es cualquier variable de estado (no necesariamente negociable), y $F(X_T) > 0$, entonces puedes usar $E_t [ F(X_T) ]$ como un numerario y claramente $F(X_T) = E_T^\mathbb Q [ F(X_T) ]$. En tu ejemplo $S_T^2 = E_T^\mathbb Q [ S_T^2]$.

Una de mis aplicaciones favoritas y no tan conocidas de esto es que en un entorno de modelo de volatilidad estocástica con $\rho = 0$ entre el precio spot y la volatilidad instantánea, $dS_t = \sigma_t S_t dW_t$, el precio de volswap está dado por $$ E_t^\mathbb Q [\sigma_{t,T} ] = E_t^\mathbb H [ (\log S_T)_+ ] = E_t^\mathbb Q \left[ \frac{ \sqrt{S_T} }{E_t[ \sqrt{S_T} ]} (\log S_T)_+ \right] $$ donde $\sigma^2_{t,T} := \frac{1}{T-}\int_t^T \sigma^2_u du$ y la "medida semimestral" $\mathbb H$ es la medida bajo la cual $S_t/E_t [ \sqrt{S_T} ]$ es una martingala.

Para ver esto primero puedes suponer que $\sigma$ es determinista para tener una idea de los cálculos, y luego en el caso de volatilidad estocástica para $\rho = 0$ aplicar condicionamiento.

(He tomado $r=0$ pero el principio sigue siendo el mismo para $r\neq 0$.)