1D Derivación de Fokker-Planck para el modelo de Volatilidad Local

Question

En la calibración de un modelo de volatilidad local con difusión $dX_t = b(X_t) dt + \sigma(t, X_t)dW_t$, se depende de la ecuación Dupire que se deriva a su vez de la ecuación de Fokker-Planck $$\partial_t p(x, t) = - \partial_x[b(x)p(x, t)] + \frac{1}{2}\partial_{xx}^2[\sigma^2(t, x)p(x, t)]$$ Mi pregunta concierne esta ecuación de Fokker-Planck. En todos los recursos que pude encontrar, la hipótesis a partir de la cual se deriva esta ecuación es que tanto $b$ como $\sigma$ son funciones de $x$ solamente. Pero claramente, necesitamos permitir que $\sigma$ también dependa de $t$.

Entonces mi pregunta es la siguiente: ¿se puede extender fácilmente la demostración de Fokker-Planck en el caso en el que $b$ y $sigma$ solo dependen de $x$ al caso en el que $\sigma$ también puede depender de $t$?

\======================================================================

Además, escribí la siguiente demostración, ¿cómo se puede generalizar?

Considera el generador infinitesimal $\mathcal{L} f(x)$, definido como \begin{equation} \mathcal{L} f(x) := b(x) \partial_x f(x) + \frac{1}{2}\sigma^2(x)\partial_{xx}^2f(x) \end{equation} Por el lema de Itô, uno nota que \begin{align*} &f(X_t) = f(x) + \int_0^t \partial_x f(X_s) dX_s + \frac{1}{2}\int_0^t \partial_{xx}^2 f(X_s) d\langle X, X\rangle_s\\ &= f(x) + \int_0^t b(X_s) \partial_x f(X_s) + \frac{1}{2} \sigma^2(X_s)\partial_{xx}^2f(X_s)ds + \int_0^t \sigma(X_s) \partial_x f(X_s) dW_s\\ &= f(x) + \int_0^t \mathcal{L} f(X_s)ds + M_t \end{align*} con $M_t$ una martingala local. Usando la fórmula anterior para los tiempos $t$ y $t+s$, tomando la expectativa y restando lleva a \begin{equation} \mathbb{E}[f(X_{t+s}] - \mathbb{E}[f(X_t)] = \mathbb{E}\left[\int_{t}^{t+s}\mathcal{L} f(X_r)dr\right] Tomando $s\to 0$, concluimos que $\partial_t \mathbb{E}[f(X_t)] = \mathbb{E}[\mathcal{L} f(X_t)]$.\ Dejando que $(p_t(x, \cdot))_{t\geq 0, x\in \mathbb{R}}$ denote el núcleo de transición de $(X_t)$, podemos introducir un operador semigrupo: \begin{equation} P_tf(y) := \int_x f(x) p_t(x, dy) Porque un núcleo de transición verifica por definición la ecuación de Chapman-Kolmogorov $(X_t)$ es Markoviano, concluimos que $\mathbb{E}[h(X_t)\mid \mathcal{F}_s] = P_{t-s}h(X_s)$ para cualquier función medible casi seguramente acotada $h$, de manera que \begin{equation} \label{eq:penultian_fokker_planck} \partial_t \mathbb{E}[f(X_t)] = \mathbb{E}[\mathcal{L} f(X_t)] \quad \Leftrightarrow \quad \partial_t P_tf(x) = P_t \mathcal{L} f(x) porque $X_0 = x$ casi seguramente.\ Ahora, podemos introducir el adjunto de $\mathcal{L}$, denotado $\mathcal{L}^*$ y definido por \begin{equation> \mathcal{L}^*f(x) := - \partial_x(bf)(x) + \frac{1}{2}\partial_{xx}^2(\sigma^2f)(x) Tenemos \begin{equation> \int_x f(x)\mathcal{L} g(x)dx = \int_x \mathcal{L}^* f(x)g(x)dx para cualquier dos funciones infinitamente diferenciables $f$ y $g$ con soporte compacto. En particular, podemos escribir en términos de densidad: $\partial_t p_t(x,y) = \mathcal{L}^*p_t(x,y)$. De hecho, con $p_t(x, dy) = p_t(x, y) dy$: \begin{equation> P_t \mathcal{L} f(x) = \int_y \mathcal{L} f(y) p_t(x, y)dy = \int_y f(y) ^*p_t(x, y)dy y \begin{equation> \partial_t P_tf(x) = \partial_t \int_y f(y) p_t(x, y)dy = \int_y f(y) \partial_t p_t(x, y)dy es decir, $\partial_t p_t(x,y) = \mathcal{L}^*p_t(x,y)$. Reemplazando por la definición de $\mathcal{L}^*$ nos permite concluir.

Answer 1

No puedo seguir tu demostración (quizás por la notación), lo cual no significa que esté equivocada. Para responder a tu pregunta: sí, es válida si $b, \sigma$ también dependen de $t$.

A continuación, te daré una demostración ligeramente más simple. Si eres hábil en análisis, puedes completar las condiciones técnicas por ti mismo (o buscarlas o simplemente aceptarlas).

En primer lugar, sea $F: \mathbb R \times [0,T] \to \mathbb R$ una función de prueba tal que $\forall y \in \mathbb R$ $F(y, T) = F(y, t) = 0$.

Además, sea $p(y, u|x, t)$ la densidad de probabilidad con $(x, t)$ las variables retrospectivas y $(y, u)$ las variables prospectivas

Por el lema de It$\hat{\text{o}}$ $$ F(X_T, T) = F(X_t, t) + \int_t^T \left( \partial_u + \mathcal{L} \right)F(X_u, u) du + \int_t^T (\cdot) dW_u. $$

Ahora tomamos expectativas y utilizando la propiedad de la función de prueba $$ \int_0^\infty \int_t^T \left( \partial_u + \mathcal{L} \right)F(y, u) p(y, u | x, t) \, du \, dy = 0 $$ Realizando integración por partes respecto a $u$ para $\partial_u$ y respecto a $y$ para $\mathcal L$ obtenemos $$ \int_0^\infty \int_t^T F(y, u) \left( - \partial_u + \mathcal{L^*} \right) p(y, u | x, t) \, du \, dy = 0 $$ Dado que esto es válido para una función de prueba arbitraria $F$ $$ \partial_T p(K, T|x, t) = \mathcal{L^*} p(K, T|x, t) $$ donde he cambiado a la notación $(K, T)$ para las variables prospectivas, ya que estas se utilizan comúnmente en el contexto de la volatilidad local.

Como puedes ver, en ninguna parte de la demostración es necesario requerir que $b$ y/o $\sigma$ sean independientes de $t$.