Esta pregunta es el ejercicio 8.8 de Ljungqvist y Sargent "Recursive Macroeconomic Theory" 3ª edición.
Repito la pregunta aquí para mayor claridad.
Hay una economía de donaciones puras y dos tipos de consumidores, $i=1,2$. Los consumidores de tipo $1$ tienen utilidad $$\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t c_t^1$$ y los consumidores de tipo 2 tienen utilidad $$\sum_{t=0}^{\infty} \beta \ln c_t^2$$. Imponemos que $c_t^i\geq 0$ y $\beta\in (0,1)$. El consumidor de tipo 1 tiene un flujo de donaciones $$y_t^1=\mu>0 \qquad \forall t\geq 0$$ y el consumidor de tipo 2 tiene un flujo de donaciones $$y_t^2=\begin{cases} 0 & \text{ si } t\geq 0 \text{ es par} \\ \alpha & \text{ si } t\geq 0 \text{ es impar} \end{cases}$$
Suponemos que el bien de consumo es negociable pero no almacenablE. Los agentes tienen acceso a un conjunto completo de valores Arrow-Debreu que se negocian solo en la fecha $t=0$.
La pregunta pide resolver el equilibrio competitivo en el caso en que $\alpha=\mu (1+\beta^{-1})$ y cuando $\alpha>\mu (1+\beta^{-1})$. Se centra en las tasas de interés brutas de un período implícitas, preguntando si cambian entre períodos pares e impares, y si son más altas o más bajas cuando $\alpha>\mu (1+\beta^{-1})$ versus cuando $\alpha=\mu (1+\beta^{-1})$.
Primero resuelvo cuando $\alpha= \mu(1+\beta^{-1})$.
El Lagrangiano del problema del agente $i$ en la fecha $0$ es $$\mathcal{L}^i=\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u^i(c_t^i) -\lambda^i\left[\sum_{t=0}^{\infty} q_t^0(c_t^i-y_t^i)\right]+\sum_{t=0}^{\infty} \mu_t^i c_t^i$$ donde $q_t^0$ es el precio de la seguridad Arrow-Debreu en la fecha $0$ por una unidad del bien de consumo en la fecha $t$. Esto tiene FOC $$0=\beta^t (u^i)'(c_t^i)-\lambda^i q_t^0 +\mu_t^i$$ dado que $\mu_t^i\geq 0$ y es estricto si y solo si $c_t^i>0$, nuestro FOC es $$\beta^t(u^i)'(c_t^i)\leq \lambda^i q_t^0$$ Para los dos tipos esto es \begin{align*} \beta^t &\leq \lambda^1 q_t^0 \qquad (i=1) \\ \beta^t\frac{1}{c_t^2} &\leq \lambda^2 q_t^0 \qquad (i=2) \end{align*}
Debido a que $\lim_{c_t^2\to 0}\frac{1}{c_t^2}\to \infty$, el consumidor de tipo 2 nunca fijará $c_t^2=0$, por lo que su FOC se cumple con igualdad. Para el consumidor de tipo 1, si $\beta^t < \lambda^1 q_t^0$, entonces $c_t^1=0$ y si $\beta^t = \lambda^1 q_t^0$, $c_t^1$ puede tomar cualquier valor en $[0,\infty )$ como el consumidor de tipo 1. Entonces, nuestros FOC se convierten (con cierto abuso de notación), \begin{align*} c_t^1&=\begin{cases} 0 & \text{ si } \beta^t < \lambda^1 q_t^0 \\ [0,\infty) & \text{ si } \beta^t = \lambda^1 q_t^0 \end{cases} \\ c_t^2&=\frac{\beta^t}{q_t^0}\frac{1}{\lambda^2} \end{align*} Hago la conjetura de que $$q_t^0=\beta^t \text{ y } \lambda^2=\frac{1}{\mu}$$ Entonces, por la restricción de donación por período\begin{align*} c_{2t+1}^1 &=\mu (1+\beta^{-1}) \\ c_{2t}^1 &= 0 \\ c_t^2 &= \mu \end{align*}
La tasa de interés es entonces $-1+\frac{q_t^0}{p_{t+1}}=\beta^{-1}-1$. Creo que este resultado es intuitivo ya que el consumidor de tipo 2 desea suavizar perfectamente el consumo ya que su elasticidad intertemporal es $1$ y el consumidor de tipo 1 le permitirá hacerlo ya que es neutral al riesgo. El consumidor de tipo 1 es compensado con la tasa de interés $(1+\beta^{-1})$ sobre la cantidad que prestan en períodos pares, $\mu$.
¿Hay una mejor manera de resolver esto que por conjetura? Creo que la conjetura parece natural, pero ¿hay un enfoque más directo?
Ahora, cuando $\alpha>\mu (1+\beta^{-1})$, sospecho que la tasa de interés aumentará en períodos pares pero disminuirá en períodos impares ya que el consumidor de tipo 2 demandará más activos en períodos pares y estará dispuesto y podrá suministrar más activos en períodos impares.
Sin embargo, no estoy seguro de cómo avanzar. Si hago la misma conjetura sobre los precios siendo $q_t^0=\beta^t$ y $\lambda^2=\frac{1}{\mu}$, encuentro que \begin{align*} c_{2t+1}^1 &=\alpha \\ c_{2t}^1 &= 0 \\ c_t^2 &= \mu \end{align*} Y la tasa de interés bruta sigue siendo $\beta^{-1}-1$. Pero esto parece erróneo ya que el consumidor de tipo 1 está prestando $\mu$ en períodos pares y recuperando $\alpha -\mu > \beta^{-1}\mu$ en los siguientes períodos pares. Lo que creo que debería encontrar es que la tasa de interés es $$\frac{q^0_{2t}}{q^0_{2t+1}}=\frac{\alpha}{\mu}-1$$ para que el consumo sea como se describe anteriormente. Sin embargo, no estoy seguro de cómo derivar esto y no estoy seguro de que sea correcto. Si conjeturo que $q_t^0=\left[\frac{\mu}{\alpha}\right]^t$ entonces la tasa de interés es como quiero que sea, pero luego $$c_t^2=\frac{\beta^t}{q_t^0}\frac{1}{\lambda^2} =\frac{1}{\lambda^2} \left[ \frac{\alpha \beta}{\mu}\right]^t$$ que explota a medida que $t\to \infty$ porque $$\frac{\alpha\beta}{\mu}>\frac{\mu (1+\beta^{-1})\beta}{\mu}=1+\beta >1$$
