Estoy leyendo Deep Learning in Asset Pricing de Chen, Pelger y Zhu (2019) y en la primera sección dice:
La suposición fundamental de no arbitraje es equivalente a la existencia de un factor estocástico de descuento estrictamente positivo (SDF) $M_{t+1}$ tal que para cualquier rendimiento en exceso de la tasa libre de riesgo $R^e_{t+1,i} = R_{t+1,i} - R^f_{t+1}$, se cumple que $$\mathbb{E}_t [M_{t+1} R^e_{t+1,i}] = 0 \Leftrightarrow \underbrace{\mathbb{E}_t[R_{t+1,i}^e] = \Big( -\frac{Cov_t(R_{t+1,i}^e, M_{t+1})}{Var_t(M_{t+1})}\Big)}_{\beta_{t,i}} \cdot \underbrace{\Big(\frac{Var_t(M_{t+1})}{\mathbb{E}_t [M_{t+1}]} \Big)}_{\lambda_t},$$ donde $\beta_{t,i}$ es la exposición al riesgo sistemático y $\lambda_t$ es el precio del riesgo. El SDF es una transformación afín de la cartera tangente. Sin pérdida de generalidad, consideramos la formulación del SDF $$M_{t+1} = 1 - \sum_{i=1}^N w_{t,i} R_{t+1,i}^e = 1 - w_t^T R_{t+1}^e.$$ La ecuación de precio fundamental $\mathbb{E}_t[R_{t+1}^e M_{t+1}] = 0$ implica los pesos del SDF $$w_t =\mathbb{E}_t [R_{t+1}^e (R_{t+1}^e)^T]^{-1} \mathbb{E}_t [R_{t+1}^e],$$ que son los pesos de la cartera eficiente en media-varianza condicional. Definimos la cartera tangente como $F_{t+1} = w_t^TR_{t+1}^e$ y nos referiremos a este factor negociado como el SDF. La ecuación de fijación de precios de activos puede formularse como $$\mathbb{E}_t[R^e_{t+1,i}] = \frac{Cov_t(R_{t+1,i}^e, F_{t+1})}{Var_t(F_{t+1})}\cdot \mathbb{E}_t(F_{t+1}) = \beta_{t,i} \mathbb{E}_t[F_{t+1}].$$ Por lo tanto, sin arbitraje implica un modelo de un factor $$R_{t+1,i}^e = \beta_{t,i} F_{t+1} + \epsilon_{t+1,i}$$
Estoy tratando de derivar la última parte: \begin{align*} 0 &= \mathbb{E}_t(M_{t+1}R_{t+1,i}^e) = \mathbb{E}[(1-F_{t+1})R_{t+1,i}^e] \\ &= \mathbb{E}[R^e_{t+1,i}] - \mathbb{E} [F_{t+1} R_{t+1,i}^e] \\ &= \mathbb{E}[R^e_{t+1,i}] - Cov(F_{t+1}, R_{t+1,i}^e) - \mathbb{E}[F_{t+1}] \mathbb{E}[R^e_{t+1,i}]\\ \mathbb{E}[R^e_{t+1,i}](1-\mathbb{E}(F_{t+1})) &= Cov(F_{t+1}, R^e_{t+1, i})\\ \mathbb{E}[R^e_{t+1,i}] &= \frac{Cov(F_{t+1}, R^e_{t+1,i})}{1-\mathbb{E}(F_{t+1})} \\ &= \frac{Cov(F_{t+1}, R^e_{t+1,i})}{\mathbb{E}[F_{t+1}] - \mathbb{E}(F_{t+1})^2} \cdot \mathbb{E}[F_{t+1}] \end{align*} Aquí es donde estoy atascado. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
