Solución del Cálculo de Ito para la Trayectoria Promedio de Movimiento Browniano Geométrico

Question

Estoy luchando con la siguiente pregunta y no puedo encontrar una solución en línea.

Sea ${X_t = \frac{1}{t} \int_0^t e^{W_u} du}$, donde ${W_u}$ es un movimiento Browniano estándar. ¿Cuál es la varianza de ${X_t}$?

Me resulta claro que esta sería la varianza de un trayecto de un movimiento Browniano geométrico con ${\sigma = 1}$ y ${\mu = \frac{1}{2}}$. Por eso, espero que haya alguna solución de Cálculo de Ito que no implique convertir cosas en series y tomar límites, pero puede que esté en un camino equivocado con eso.

Hasta ahora, he hecho lo siguiente usando Cálculo de Ito:

${F_t = e^{W_t}}$

${\rightarrow dF_t = e^{W_t}dt + e^{W_t}dW_t}$

${\rightarrow e^{W_t} - e^{W_0} = \int_0^t e^{W_u} du} + \int_0^t e^{W_u}dW_u$

${\rightarrow Var(\int_0^t e^{W_u} du) = Var(e^{W_t}) + Var(\int_0^t e^{W_u}dW_u) + 2 Cov(e^{W_t}, \int_0^t e^{W_u}dW_u)}$

El primer componente es obvio, usando la función generadora de momentos de la distribución normal. El segundo componente es obvio usando la Isometría de Ito. Pero estoy luchando para determinar ${Cov(e^{W_t}, \int_0^t e^{W_u}dW_u)}$.

Cualquier pista al respecto o confirmación de si estoy en el camino correcto para resolver esto se aprecian mucho.

Answer 1

Su aplicación de la fórmula de Ito para $F_t$ se omitió el término $\frac{1}{2}$ para $\frac{1}{2} e^W_t dt$.

Pero, yo elegiría una forma alternativa de hacerlo.

Centrándose en $\int_0^T e^{W_t} dt$ necesitas

$E \left [ \int_0^T e^{W_t} dt \right ] = \int_0^T E[e^{W_t}] dt = \int_0^T e^{\frac{1}{2}t} dt $

para la media: recuerde que $E$ y la integral conmutan.

El 2do momento requiere una pequeña ingeniosidad

$E \left [ \left ( \int_0^T e^{W_t} dt \right ) ^2 \right ] = E \left [ \left ( \int_0^T e^{W_t} dt \right ) \left ( \int_0^T e^{W_s} ds \right ) \right ] $

entonces puedes escribirlo como una doble integral

$\int_0^T \int_0^T E \left [ e^{W_t} e^{W_s} \right ] ds \, dt$

lo cual es

$\int_0^T \int_0^T E \left [ e^{W_t + W_s} \right ] ds \, dt$

Ahora $W_t + W_s$ es una normal con media 0 y varianza = $t + s + 2 \min(s, t)$ así que

$\int_0^T \int_0^T e^{\frac{1}{2} (t + s + 2 \min(s, t))} ds \, dt$

lo cual puede resolverse dividiendo el cuadrado en 2 regiones donde $s < t$ y $s > t$.