Fórmula general de elasticidad de sustitución

Question

Por definición, ES toma la forma $$ \sigma_{12} = \frac{d \ln (x_2/x_1)}{d \ln {MRTS_{12}}} $$ Dada alguna función de producción $F(x_1,x_2)$, veo una forma que $$ \sigma_{12} = -\frac{\frac{1}{x_1 F_1} + \frac{1}{x_2 F_2}}{\frac{F_{11}}{(F_1)^2} - \frac{2 F_{12}}{F_1 F_2} + \frac{F_{22}}{(F_2)^2}} $$ donde $F_1,F_2,F_{11},F_{12},F_{22}$ son las primeras y segundas derivadas parciales, respectivamente.

Sin embargo, no sé cómo derivarlo. Sería genial si se pudieran proporcionar algunas pistas.

¡Gracias!

Answer 1

Expresemos todo en términos de $x_1$. En primer lugar, la elasticidad de sustitución se determina manteniendo fija la producción, por lo que $$ F(x_1, x_2) = C. $$ Para una constante $C$. Esto nos da: $$ F_1 + F_2 \frac{dx_2}{dx_1} = 0 \to \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{F_1}{F_2}. $$

A continuación, consideremos la razón: $$ r = \frac{x_2}{x_1}. $$ Entonces: $$ \begin{align*} \frac{dr}{dx_1} &= \frac{1}{x_1} \frac{dx_2}{dx_1} - \frac{x_2}{(x_1)^2},\\ &= -\frac{1}{x_1}\frac{F_1}{F_2} - \frac{x_2}{(x_1)^2},\\ &= -\frac{x_2 F_1}{x_1}\left(\frac{1}{x_2 F_2}+ \frac{1}{x_1F_1}\right) \end{align*} $$

A continuación, $$ MRTS = - \frac{F_1}{F_2}. $$ Entonces: $$ \begin{align*} \frac{d MRTS}{dx_1} &= -\left(\frac{F_2\left(F_{11} + F_{12}\frac{dx_2}{dx_1}\right) - F_1\left(F_{21} + F_{22}\frac{dx_2}{dx_1}\right)}{(F_2)^2}\right),\\ &=\frac{-F_2 F_{11}+F_{12} F_1 + F_1 F_{21} - F_1 F_{22}\frac{F_1}{F_2} }{(F_2)^2},\\ &= -\frac{(F_1)^2}{(F_2)}\left(\frac{F_{11}}{(F_1)^2} -2 \frac{F_{12}}{F_1 F_2} + \frac{F_{22}}{(F_2)^2}\right) \end{align*} $$

Entonces: $$ \begin{align*} \frac{dr}{dMRTS} &= \left.\left(\frac{dr}{dx_1}\right)\middle/\left(\frac{dMRTS}{dx_1}\right)\right.\\ &= -\frac{\frac{1}{x_2 F_2} + \frac{1}{x_1 F_1}}{\frac{F_{11}}{(F_1)^2} - 2 \frac{F_{12}}{F_1 F_2} + \frac{F_{22}}{(F_2)^2}}\left(-\frac{F_2}{F_1}\frac{x_2}{x_1} \right) \end{align*} $$

Esto nos da: $$ \begin{align*} \frac{d \ln(r)}{d \ln(MRTS)} &= \frac{d r}{d MRTS} \frac{MRTS}{r},\\ &= \frac{dr}{dMRTS} \left(-\frac{F_1}{F_2}\right) \frac{x_1}{x_2},\\ &=-\frac{\frac{1}{x_2 F_2} + \frac{1}{x_1 F_1}}{\frac{F_{11}}{(F_1)^2} - 2 \frac{F_{12}}{F_1 F_2} + \frac{F_{22}}{(F_2)^2}} \end{align*} $$