¿La Independencia de Alternativas Irrelevantes y la optimalidad de Pareto implican la monotonicidad siempre que haya ganadores de Condorcet?

Question

Estoy tratando de demostrar que la independencia de alternativas irrelevantes y la optimalidad de Pareto implican monotonicidad en el dominio de preferencia estricta restringido con ganadores de Condorcet. Estoy buscando cualquiera de estas cosas:

1. un contraejemplo que demuestre que mi conjetura es incorrecta,
2. una estrategia de prueba para demostrar mi conjetura,
3. una referencia útil.

Sea $N=\{1,\dots,n\}$ un conjunto finito de votantes; sea $A=\{1,\dots,a\}$ un conjunto finito de alternativas, donde $a\geq 3$; sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todas las órdenes lineales en $A$; sea $\mathcal{C}^N\subsetneq\mathcal{P}^N$ el conjunto de todos los perfiles de órdenes lineales con ganadores de Condorcet, donde una alternativa $x\in A$ es un ganador de Condorcet en el perfil $\mathbf{P}\in\mathcal{P}^N$ si y solo si $\{i\in N\mid xP_iy\}>n/2$ para todas las alternativas $y\in A\backslash\{x\}$; y sea $f:\mathcal{C}^N\to\mathcal{P}$ una función de bienestar social.

• Una función de bienestar social $f:\mathcal{C}^N\to\mathcal{P}$ es independiente de alternativas irrelevantes si y solo si dados dos alternativas $x,y\in A$ y dos perfiles $\mathbf{P},\mathbf{P}'\in\mathcal{C}^N$ tales que para todos los votantes $i\in N$, tenemos $xP_iy$ si y solo si $xP_i'y$; entonces también tenemos $xf(\mathbf{P})y$ si y solo si $xf(\mathbf{P}')y$.

• Una función de bienestar social $f:\mathcal{C}^N\to\mathcal{P}$ es óptima en Pareto si y solo si para todos los perfiles $\mathbf{P}\in\mathcal{C}^N$ y todas las alternativas $x,y\in A$, tenemos que $xP_iy$ para todos los votantes $i\in N$ implica que $xf(\mathbf{P})y$.

Dado cualquier perfil $\mathbf{P}\in\mathcal{C}^N$ y cualquier alternativa $x\in A$, sea $L_i(x,\mathbf{P})=\{y\in A\mid xP_iy\}$ el conjunto de contorno inferior del votante $i$ en $x$, y sea $\mathcal{C}^N(\mathbf{P},x)=\{\mathbf{P}'\in\mathcal{C}^N\mid(\forall i\in N)[L_i(x,\mathbf{P})\subseteq L_i(x,\mathbf{P}')]\}$ el conjunto de perfiles de preferencia en los que la alternativa $x$ no ha caído en la preferencia de ningún votante.

• Una función de bienestar social $f:\mathcal{C}^N\to\mathcal{P}$ es monótona si y solo si para todas las alternativas $x\in A$, todos los perfiles $\mathbf{P}\in\mathcal{C}^N$ y todos los perfiles $\mathbf{P}'\in\mathcal{C}^N(\mathbf{P},x)$; tenemos que para todas las alternativas $y\in A\backslash\{x\}$, $xf(\mathbf{P})y$ implica $xf(\mathbf{P}')y$.

Según Arrow (1950), sabemos que bajo el dominio de preferencia estricta no restringida, una función de bienestar social que satisface la optimalidad de Pareto e independencia de alternativas irrelevantes es dictatorial, y por lo tanto monótona. Mi impresión al leer versiones contemporáneas de la prueba de Arrow (1950) es que el dominio no restringido es necesario para obtener el resultado dictatorial, pero no la monotonicidad. Sin embargo, no puedo probarlo ni encontrar un contraejemplo.

¿Puedes ofrecer alguna ayuda?

Answer 1

Aquí hay una respuesta parcial que asume $a\geq 4$. El punto principal es que la existencia de un ganador de Condorcet no hace tanto en este contexto.

Sea $x$ cualquier alternativa, y sea $\mathcal{C}_x$ el conjunto de órdenes lineales que colocan a $x$ en primer lugar. Entonces, cualquier perfil de órdenes lineales sobre las restantes $a-1$ alternativas corresponde a un perfil único en $\mathcal{C}_x^N$. Además, un ganador de Condorcet siempre existe, en este caso $x$. Cualquier función de bienestar social definida en perfiles de órdenes lineales sobre las restantes $a-1$ alternativas que cumpla las condiciones debe extenderse claramente a una función de bienestar social única en $\mathcal{C}_x^N$. Por lo tanto, un dictador sobre estas $a-1$ alternativas existe según el teorema de Arrow. Dado que esto funciona para todos los $x$, debe existir también un dictador simple.