Maximizar la suma de utilidades o más generalmente la suma ponderada de utilidades te dará asignaciones eficientes como soluciones.
Para obtener asignaciones eficientes, podemos resolver el siguiente problema:
$\max_{((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+}\alpha_1\min(x_1,y_1)+\alpha_2\min(2x_2,y_2)+\alpha_3\min(3x_3,y_3)$
sujeto a $x_1+x_2+x_3=\omega_X, \ y_1+y_2+y_3=\omega_Y$
donde $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\in\mathbb{R}^3_+\setminus (0,0,0)$ y $\omega_X>0$ y $\omega_Y>0$ están dados.
La solución al problema anterior es necesariamente eficiente de Pareto. Al variar $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ y considerar la unión del conjunto de soluciones generadas en el proceso, obtenemos el conjunto de todas las asignaciones eficientes de Pareto.
Por ejemplo: maximizar la suma de utilidades para el caso donde $\omega_X=\omega_Y=\omega>0$,
$\max_{((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+}\min(x_1,y_1)+\min(2x_2,y_2)+\min(3x_3,y_3)$
sujeto a $x_1+x_2+x_3=\omega, \ y_1+y_2+y_3=\omega$
dará el siguiente conjunto de asignaciones factibles como soluciones al problema anterior: $\{((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3))\in\mathcal{F}|y_1\leq x_1 \wedge y_2 \leq 2x_2 \wedge y_3 \leq 3x_3\}$
Aquí $\mathcal{F}$ es el conjunto de asignaciones factibles es decir, $\mathcal{F}=\{((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_1 +x_2+x_3=y_1+y_2+y_3=\omega\}$
Estas soluciones son eficientes de Pareto, pero no siempre son las únicas asignaciones eficientes. Puede haber más.
