¿El precio futuro decae al precio spot?

Question

Estoy confundido con cómo evolucionan a través del tiempo el proceso del valor actual, $S_t$, y el proceso de futuros $F_t$. Por lo que entiendo:

1. El proceso de valor actual descontado, $\frac{S_t}{B_t}$, es un $\mathbb{Q}$-martingala
2. Los futuros se representan como el pago esperado, $F(t;T,X) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}(X|\mathcal{F_t})$
3. En el tiempo terminal, $T$, tenemos $F(T;T) = S_T$.

Pero estoy tratando de obtener una mejor intuición sobre los futuros desde un punto de vista heurístico. (Ignorando el costo de llevar y los dividendos), si quisieras comprar un futuro sobre una acción, $S_t=\\\$100$ con un vencimiento de 1 año donde las tasas de interés son $r=0.10$, comprarías felizmente los futuros hasta que alcanzara $F=\\\$110$, porque si $F=\\\$105$, podrías comprar el futuro e invertir el dinero en efectivo en bonos $B_t$. Si la acción tiene un 50/50 de probabilidad de subir o bajar, entonces en promedio tu PNL sería la diferencia entre la tasa de bonos y la tasa a futuro del futuro (que es > 0 en este caso).

Luego parece que la conclusión en este punto es que cuando $t \to T$, $F_t\searrow S_t$, es decir, el futuro decae hacia el valor actual. Pero el punto 1 sugiere que $S_t\nearrow F_t$, ya que el valor actual no descontado, $S_t$, tiene un drift ascendente a la tasa del bono.

Aunque, entiendo un poco que el punto 1 es específicamente que el proceso descontado es una martingala bajo la medida de neutralidad de riesgo, en lugar de la medida del mundo real, que es por lo que el precio de un derivado quiere ser compensado por vender un derivado (la prima).

Pregunta 1: ¿El precio del valor actual se va acercando al del futuro, o el precio del futuro se va degradando hacia el valor actual?

Pregunta 2: La capa adicional de confusión en el futuro es que tanto el vendedor en corto como el comprador están en margen (¿para futuros de liquidación en efectivo?) y están marcados al mercado. (¿Es por eso que no necesitamos descontar el futuro para que sea martingala ya que tanto el asegurador como el comprador pueden poner el valor del valor actual en un bono y ajustar su margen diariamente, se agradecería algo de claridad sobre esto también). Entonces, ¿no estarían ambos felices de negociar bajo la etiqueta de precio de $\\\$110$? ¡Dado que ambos pueden poner el valor del valor actual en un bono! ¿O es la fijación de precios neutral al riesgo de los futuros bajo el supuesto de que el vendedor ya tiene el activo y por lo tanto no hay efectivo para comprar un bono?

Answer 1

Pregunta 1: para la valoración de derivados, no importa si se asume spot->futures o de la otra manera. Todo lo que importa es la valoración relativa. Para el mundo real nunca se puede especificar cuál es el 'correcto', porque el resultado real es aleatorio. Los datos históricos presumiblemente muestran spot -> futuros con más frecuencia, ya que las acciones generalmente tienen rendimientos al menos iguales a la tasa libre de riesgo.

Pregunta 2: el precio de los futuros está determinado por el arbitraje, por lo que tanto el vendedor como el comprador deberían estar de acuerdo en los 110. El punto es que no hay un desembolso inicial de efectivo para realizar la transacción del futuro. Considere el arbitraje partiendo de una posición plana: si los futuros >110, tomar prestado efectivo, comprar acciones, vender futuros. Si los futuros <110, vender acciones, invertir efectivo, comprar futuros.