Estimación de la varianza del rendimiento de GBM

Question

Normalmente veo a las personas definir la varianza realizada como la diferencia al cuadrado en los logaritmos de los rendimientos, es decir, $$RVar = \frac{1}{T} \sum_{n=1}^N \log \left( \frac{S_{n}}{S_{n-1}} \right)^2$$ donde $t_n - t_{n-1} = \delta t$ y $T=N\delta t$. Esto es claramente un estimador no sesgado de la varianza del rendimiento logarítmico dado que se espera que el rendimiento logarítmico sea 0. Sin embago, bajo el movimiento Browniano geométrico, tenemos que $$\mathbb{E} \log \delta S = \delta t \left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right)$$ así que $$\mathbb{E} \log \delta S^2 = \delta t \sigma^2 \delta t \left(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2\right)$$ donde $\mu$ es la tasa de crecimiento del activo subyacente. Esto sugiere que $RVol$ no es no sesgado para $\sigma^2$, excepto en un caso especial. Por ahora, asumamos que $\mu$ es conocido para evitar problemas de grados de libertad estadísticos. Mis preguntas son dos:

(1) ¿Por qué alguien no intentaría corregir este sesgo en una estimación de volatilidad?

(2) Estimar $\sigma$ es de especial interés en opciones. Bajo la medida de riesgo neutral, $\mu = r$ la tasa libre de riesgo. ¿Cuál sería más correcto usar en nuestra estimación no sesgada de volatilidad? Parece sospechoso que la volatilidad se mantenga constante bajo un cambio de medida, sin embargo, la elección de la medida afecta nuestra estimación de volatilidad.

Answer 1

Es correcto que la definición de varianza realizada que diste depende del drift de $S_n$ lo cual parece no deseado a primera vista. Sin embargo, esta es la definición oficial que se utiliza en contratos de derivados. La razón de ello, creo yo, es que si pasamos al límite de $N\to\infty$ en el intervalo de tiempo fijo $[0,T]$ (es decir, "muestreo continuo") obtenemos la variación cuadrática de $\log S\,:$ $$ \frac 1T\sum_{i=1}^N\left(\ln\left(\frac {S_n}{S_{n-1}}\right)\right)^2\to\frac 1T\int_0^T\sigma^2(s)\,ds $$ donde el drift ha desaparecido. Los estadísticos llaman a esto un estimador consistente (aquí de la variación cuadrática). Creo que intentos de corregir el "sesgo" en el caso discreto podrían arruinar esta consistencia y llevar a complicaciones contractuales en opciones sobre varianza realizada.

Si simplemente quieres estimar la volatilidad histórica, por supuesto eres libre de usar otro estimador. Popular es la varianza muestral de los retornos que viene en diferentes variantes.

Encuentro extraña tu segunda pregunta. Nos dan una serie temporal histórica y no podemos cambiar la medida de probabilidad bajo la cual fue producida. Todo lo que podemos hacer es estimar la volatilidad a partir de ella y usarla en un modelo en el cual podemos elegir la medida. Sin embargo, lo bueno es que el teorema de Girsanov no cambia la variación cuadrática y/o volatilidad. Cambia solo el drift.