Pregunta general sobre la agregación de hogares idénticos como uno representativo

Question

Cuando estaba tomando una clase de Macroeconomía de primer año, el profesor siempre mencionaba que "La economía tiene hogares idénticos con una medida de 1". Realmente no sé cómo agregar todos los hogares como representante.

Por ejemplo, supongamos que hay un número infinito incontable de hogares en la economía:

Etiqueta $i\in [0,1]$, el nivel de capital individual es $k$ y el capital total en la economía es $K$.

Entonces tenemos: $\int_{0}^{1} k(i)\ di = K$, por la identidad de todos los hogares, entonces tenemos $\int_{0}^{1} k\ di = K$, lo que implica $k(i) = k = K, \forall i \in [0,1]$.

El significado de la economía es que el capital individual siempre es igual al número total de capital, lo cual no es realista.

Me pregunto si esto significa que la agregación que aprendí es matemáticamente incorrecta?

(Le pregunté al profesor esta pregunta varias veces y este tipo siempre la evitó :(

¡Muchas gracias de antemano por cualquier sugerencia!

EDIT: Acabo de darme cuenta de que el significado de "integral" es "promedio" en lugar de "suma", así que ahora la pregunta es: ¿es cierto para esta economía que la cantidad total de capital siempre es +$\infty$?

Answer 1

Como un hecho matemático, $\int_0^1 K~\mathrm di =K$ es perfectamente aceptable. La forma en que yo interpretaría esto es que cada agente posee la cantidad promedio; la integral ofrece un promedio de la población. Esto funciona igualmente bien si tienes $n$ hogares, y cada uno tiene un peso de $1/n$. Entonces, tenemos $\sum_{i=1}^n 1/n~K=K$. Por lo tanto, podrías pensar en la integral representando que cada individuo tiene un peso infinitesimal y posee una parte infinitesimal del capital total.