Preferencias lexicográficas y el axioma de elección

Question

Una vez más estoy pensando en la prueba de que las preferencias lexicográficas sobre $\mathbb{R}^2$ no tienen una representación de utilidad. La prueba que he visto es la siguiente.

Supongamos que existe $u:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ que representa las preferencias lexicográficas (buscando una contradicción). Entonces, para cualquier $a\in \mathbb{R}$, $(a,1)\succ (a,0)$, así que $u((a,1))>u((a,0))$. Por densidad de los racionales, $\exists q \in \mathbb{Q}$ tal que $u((a,1))>q>u((a,0))$. Esto define una función $q:\mathbb{R}\to \mathbb{Q}$ con $q(a)\in (u((a,0)),u((a,1)))$ para cualquier $a\in \mathbb{R}$. Esta función es inyectiva. Pero esto implicaría que $\mathbb{Q}$ es innumerable, una contradicción.

El problema que he tenido al entender esta prueba es la afirmación "Esto define una función $q:\mathbb{R}\to \mathbb{Q}\dots$". No puedo entender por qué esto no requiere el Axioma de Elección (AoE) para construirlo.

Mi (admitidamente débil) comprensión del AoE es que nos permite seleccionar un elemento de cualquier colección de conjuntos, y es necesario cuando queremos seleccionar elementos de una colección innumerable de conjuntos. ¿No es esto lo que estamos haciendo aquí? Tenemos la colección innumerable de conjuntos no vacíos $\{(u((r,0)),u((r,1)))\cap\mathbb{Q}\}_{r\in \mathbb{R}}$ y queremos elegir un elemento de cada uno de estos. Admito que mi comprensión del AoE no es sólida, así que tal vez explicar exactamente cuándo es necesario aclararía mi malentendido.

Answer 1

En la demostración del teorema sobre preferencias lexicográficas en tu pregunta, el Axioma de Elección (AC) es necesario, y se usa de manera implícita, ya que estamos construyendo una función a través de un número infinito de elecciones arbitrarias, como mencionaste en tu pregunta.

El punto es que el AC a menudo se da por sentado en muchas demostraciones.

La mayor parte de los matemáticos no mencionan el uso del AC cuando lo usan en sus demostraciones: son conscientes de que lo usan, pero lo hacen de forma implícita, creo que porque consideran que hacerlo explícito sería una complicación pedante y creen que el hecho de que lo estén usando es bastante obvio.

Munkres, J. R., Topology, 2ª ed., Prentice Hall, p. 60, describe la actitud de los matemáticos hacia el AC de la siguiente manera:

Habiendo enfatizado que para construir una demostración del Teorema $9.1$ que sea lógicamente correcta, uno debe hacer un uso específico de una función de elección, ahora retrocedemos y admitimos que en la práctica la mayoría de los matemáticos no hacen tal cosa. Siguen adelante sin remordimientos dando demostraciones [...] que involucran un número infinito de elecciones arbitrarias. Saben que están realmente utilizando el axioma de elección; y saben que si fuera necesario, podrían poner sus demostraciones en una forma lógicamente más satisfactoria, introduciendo una función de elección específicamente. Pero generalmente no les preocupa.

Y nosotros tampoco. Encontrarás pocos usos específicos adicionales de una función de elección en este libro; introduciremos una función de elección solo cuando la demostración se vuelva confusa sin ella. Pero habrá muchas demostraciones en las que hagamos un número infinito de elecciones arbitrarias, y en cada caso estaremos utilizando de hecho el axioma de elección de manera implícita.

El AC se menciona explícitamente, en cambio, en muchos teoremas importantes, donde las demostraciones serían ininteligibles o imposibles sin mencionarlo, y generalmente el AC en estos teoremas se usa en la forma equivalente del Lema de Zorn: el Lema de Zorn está lejos de ser obvio o intuitivo.

Dos demostraciones conocidas que utilizan el AC son las demostraciones del teorema de que cada espacio vectorial no vacío tiene una base y el teorema de Hahn-Banach en su forma analítica (en ambos casos, el AC se usa en la forma del Lema de Zorn).

A veces, el uso del AC es implícito e inconsciente. Hay ejemplos de demostraciones de teoremas anteriores a la formulación del AC que hacen uso inconsciente del AC, e incluso algunos matemáticos que rechazaron el AC, como G. H. Hardy, en realidad utilizaron inconscientemente el AC en alguna demostración.

Consulta a Herrlich, H., Axiom of Choice, Springer, 2006, a la que puedes referirte para leer acerca de todas las complejidades relacionadas con el AC y su historia tormentosa: el AC es uno de los temas más controvertidos de la historia de las matemáticas.

Answer 2

No es necesario el axioma de elección aquí. La demostración de que los números racionales son numerables no hace uso del axioma de elección, e incluso hay enumeraciones muy concretas disponibles. Y eso es todo lo que necesitamos para definir $q$ explícitamente.

Así que sea $(q_n)$ una enumeración de los números racionales. Entonces puedes definir $q:\mathbb{R}\to \mathbb{Q}$ explícitamente dejando que $q(a)$ sea el primer racional en $(u((a,0)),u((a,1))) bajo esta enumeración. No se involucra ninguna "elección arbitraria" en este argumento.