¿Es posible determinar el retorno a escala de una función de producción, $q = L^\lambda + K^\gamma$, en esa forma general?

Question

Dada la función de producción $q = L^\lambda + K^\gamma$, ¿cómo determinamos el rendimiento a escala para diferentes valores de $\lambda$ y $\gamma$?

Sé que tenemos que determinar el grado homogéneo de la función. Es decir:

$tf(L,K) = t(L^\lambda + K^\gamma)$

$f(tL,tK) = t^\lambda L^\lambda + t^\gamma K^\gamma$

Si $\lambda = \gamma$, entonces $t^\lambda(L^\lambda + K^\gamma)$, entonces

• Rendimiento constante a escala si $\lambda$ = 1
• Rendimiento creciente a escala si $\lambda$ > 1
• Rendimiento decreciente a escala si $\lambda$ < 1

Esto parece ser trivial. Sin embargo,

1. ¿Cómo determinaríamos el rendimiento a escala si el valor de $\lambda$ y $\gamma$ no es igual?
2. Supongamos que $\lambda$ > $\gamma$, ¿qué demonios necesitamos hacer para determinar el rendimiento a escala de la función de producción? ¿Es siquiera posible en forma general? ¿Quizás necesitamos valores numéricos para lambda y gamma?

Answer 1

La homogeneidad de una función es una condición suficiente pero no necesaria para determinar sus rendimientos a escala (RTS), como se discute en este post.

Según la definición de RTS,
\begin{align} \text{$F$ tiene RTS crecientes} \quad\Leftrightarrow\quad F(aK,aL) > aF(K,L), \quad a>1 \\ \text{$F$ tiene RTS decrecientes} \quad\Leftrightarrow\quad F(aK,aL) < aF(K,L), \quad a>1 \end{align} Aplicando esta definición a $F(K,L)=L^\lambda + K^\gamma$, y notando que $\lambda>\gamma$, tenemos \begin{align} F(aK,aL) & = (aL)^\lambda + (aK)^\gamma \\ & = a^\lambda L^\lambda + a^\gamma K^\gamma &\begin{cases} > a^\gamma (L^\lambda + K^\gamma) = a^\gamma F(K,L) \\[6pt] < a^\lambda (L^\lambda + K^\gamma) = a^\lambda F(K,L) \end{cases} \end{align} Así, \begin{align} \gamma&\ge1 \quad\Rightarrow\quad \text{$F$ tiene RTS crecientes} \\ \lambda&\le1 \quad\Rightarrow\quad \text{$F$ tiene RTS decrecientes} \end{align} De lo contrario, los rendimientos a escala son inconclusos.