El cálculo de elasticidad de la demanda arroja elasticidad unitaria a $0. ¿Qué está mal?

Question

Estaba tratando de resolver $E_D=\dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q}=-1$, asumiendo que $Q\neq0$.

$$ \begin{align*} P\ dQ&=-Q\ dP\\ \int P\ dQ&=-\int Q\ dP\\ \end{align*} $$

La integración por partes produce:

$$ \begin{align*} PQ-\int Q\ dP&=-\int Q\ dP\\ PQ&=0\\ P&=0 \end{align*} $$

Pero esto no es correcto por muchas razones. Primero, al sustituir $P=0$ en la ecuación original de $E_D$ resulta en 0 (ya que es seguro asumir que $dQ\neq0$ y $dP\neq0$). Segundo, cuando hay elasticidad unitaria, esto debería maximizar los ingresos, pero si $P=0$, esto significa que los ingresos son 0.

¿Qué he hecho mal en estos cálculos?

Answer 1

Volver a escribir, separando variables: $$ \frac{1}{Q} d Q= -\frac{1}{P} dP $$ Integrando ambas partes tenemos: $$ \ln(Q) = - \ln(P) + C = \ln(1/P) + C, \qquad C \in \mathbb{R} $$ Tomando exponentes en ambos lados da que hay un $A = e^C > 0$ tal que: $$ Q = -\frac{A}{P} $$

Verificar la corrección. Tenemos que $\frac{dQ}{dP} = -\frac{A}{P^2}$, así que: $$ \frac{dQ}{dP} \frac{P}{Q} = -\frac{A}{P^2}\frac{P}{-\frac{A}{P}} = -1. $$

Answer 2

Ya hay un error en el paso 2. En este problema $Q(P)$ por lo que necesitas tomar la integral con respecto a $P$ por lo que las ecuaciones deberían verse así;

$$\int (P dQ) dP= \int (Q dP) dP$$