Prueba de la función de utilidad para CARA [1(a)] e igualdad CRRA con coeficiente de potencia [1(b)]

Question

Me quedé atascado en la primera pregunta después de leer el primer capítulo del Pricing de activos de Cochrane. Admito que soy un idiota en economía, pero no hay ninguna estructura en este problema, ¿cómo debo empezar?

Incluso el conjunto de soluciones dice que es demasiado obvio. Agradecería cualquier indicio en la dirección correcta o una solución completa SERÍA MUY apreciada (aunque no es necesaria).

Answer 1

Para resolver (a), define $f(c)=u'(c)$, así la aversión absoluta al riesgo $\alpha$ se convierte en:

$$\frac{f'(c)}{f(c)}=-\alpha,$$ $$\frac{d}{dc}[\ln(f(c))]=-\alpha,$$ $$d[\ln(f(c))]=-\alpha dc,$$ $$\int d[\ln(f(c))]=\int-\alpha dc,$$ $$\ln(f(c))=-\alpha\int dc,$$ $$\ln(f(c))=-\alpha c+\beta_1,$$ $$f(c)=\beta_2e^{-\alpha c},\;\;\text{con }\beta_2=e^{\beta_1}>0$$ $$f(c)=\beta_2e^{-\alpha c}.$$

Sabemos que $u'(c)=f(c)$ entonces

$$\frac{du}{dc}=\beta_2e^{-\alpha c}$$ $$\int du=\int\beta_2e^{-\alpha c}dc$$ $$u(c)=-\frac{\beta_2}{\alpha}e^{-\alpha c}+\beta_3.$$

Si $\alpha>0$, lo cual no se afirma explícitamente pero puede derivarse en el caso de que $u'(c)>0$ y $u''(c)<0$, entonces notamos que $-e^{-\alpha c}$ representa las mismas preferencias que $u(c)$ ya que es una transformación creciente de $u(c)$.

Para resolver (b), una variación de un truco similar puede funcionar.