Métodos de calibración de volatilidad local (rejilla PDE vs uso directo de la superficie suavizada de IV)

Question

Cuando calibramos nuestra volatilidad local, necesitamos crear una superficie de volatilidad implícita suavizada y sin arbitraje (por ejemplo SSVI o Sabr).

Imaginemos la superficie de volatilidad implícita suavizada como una caja negra donde proporcionamos una huelga y un vencimiento y obtenemos nuestra volatilidad implícita de vuelta.

Ahora hay una fórmula bien conocida que puede dar las vols locales como función de las vols implícitas si asumimos que tenemos disponible una grilla continua de vols implícitas:

$\sigma_{\mathrm{Dup}}(T,K)^2 = \frac{ \frac{\partial w}{\partial T} }{1 - \frac{y}{w} \frac{\partial w}{\partial y}+ \frac{1}{4}\left( - \frac{1}{4} - \frac{1}{w} + \frac{y^2}{w^2} \right) \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} }$

Dada la superficie suavizada y libre de arbitraje de volatilidad implícita, podemos calcular las derivadas anteriores numéricamente y podemos extraer cualquier vol local que deseemos.

Pero aún veo que uno de los enfoques muy populares (algo similar presentado en el documento "Interpolación de Volatilidad" de Jesper Andreasen y Brian Huge) donde intentan resolver un problema de minimización mal planteado con alguna restricción de suavidad en una grilla de EDP combinada con la EDP de Dupire hacia adelante, por ejemplo. También asumen alguna estructura de la volatilidad local (constante por partes en el tiempo, lineal en la dimensión de la huelga) para poder aplicar este enfoque de FDM.

Esto parece ser más complicado y también, en términos de modelado, la constante por partes en las dimensiones de tiempo se siente muy restrictiva y mucho menos precisa (por ejemplo, la interpolación lineal en la dimensión de la huelga).

Siento que me estoy perdiendo algo. ¿Quizás los resultados del primer método no son lo suficientemente suaves? ¿Tal vez hay otras desventajas que me estoy perdiendo?

Answer 1

La elección del modelo de volatilidad depende mucho de la aplicación y de los requisitos que surjan de esto.

El modelo SSVI o el modelo SABR (y otros modelos similares) seguramente produce superficies suaves libres de arbitraje. El problema es que esos modelos tienen muy pocos parámetros. Normalmente nunca podrás ajustar los datos del mercado al modelo excepto aproximadamente. Puede que tengas cientos de precios de opciones/volatilidades de mercado, pero solo unos pocos parámetros libres para usar en el procedimiento de ajuste (cuatro para el modelo SABR). La superficie es entonces libre de arbitraje, pero solo una aproximación muy grosera de la superficie implícita del mercado.

Esto podría ser suficiente para tu aplicación si por ejemplo quieres usarlo para algunos cálculos de medición de riesgos no tan exactos. Sin embargo, si necesitas la superficie para tener una buena estimación del precio de algún derivado exótico, esta elección de modelo no será tan buena.

El modelo Huge/Andreasen tiene un número flexible de parámetros dependiendo de cuántos precios de opciones se proporcionen y el ajuste es generalmente excelente. La interpolación constante en su modelo puede ser reemplazada por interpolación lineal para conseguir un ajuste aún mejor y un procedimiento de calibración más estable. Incluso se pueden utilizar splines, pero he leído que esto en realidad no mejora mucho las cosas en comparación con el caso lineal. También quiero decir que solo hacen esta interpolación grosera para sus llamativas "proxies" de volatilidad local que luego se utilizan para calcular precios de opciones para todas las veces y precios de ejercicio que luego se utilizan para calcular la volatilidad implícita y local. Esto no significa que utilicen volatilidades constantes por partes en la superficie final.

También quiero mencionar que algunos modelos son excelentes para producir una sonrisa de volatilidad para una madurez, pero son menos adecuados para producir una superficie completa. A veces solo estás interesado en la volatilidad para una madurez específica. Por ejemplo, es posible que desees establecer un precio para algún derivado dependiente de la volatilidad con una madurez específica lo mejor posible en comparación con los datos de mercado dados. Entonces, normalmente querrás una densidad implícita suavizada subyacente determinada por los datos del mercado (mediante la cual puedes establecer precios para derivados con la misma madurez, o obtener cualquier volatilidad para esa madurez). La densidad es la segunda derivada del precio de la opción de compra con respecto al precio de ejercicio. Por lo tanto, se requeriría una interpolación de precios de compra diferenciable tres veces para producir una densidad suave. Además, la interpolación debería ser libre de arbitraje.

Lo anterior es un problema bastante difícil de resolver en general. Acabo de implementar un artículo del año pasado de Le Floc'h sobre exactamente esto. https://arxiv.org/abs/2305.13791 Esto es del Arxiv, por lo que no está tan pulido como un artículo en una revista, pero la idea es fácil de entender y produce un ajuste excelente a los datos aunque sea un desafío numérico de implementar.

También ten en cuenta que no hay una única respuesta correcta cuando se trata de crear una sonrisa o superficie de volatilidad. Hay infinitas formas de crear superficies libres de arbitraje que coincidan con los datos del mercado. Por lo tanto, nunca habrá un modelo que produzca algún tipo de resultado "correcto". El resultado siempre variará un poco dependiendo del modelo, pero típicamente queremos que sea lo más consistente posible con los datos del mercado.