¿Podría alguien por favor proporcionar una derivación paso a paso de la forma log-linealizada de la siguiente ecuación? He intentado llegar de la primera ecuación a la segunda pero sin éxito. Realmente estoy luchando.
Respuesta
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Hay un error tipográfico en tu (B.2.4). Creo que el lado derecho debería incluir un término $P_{T,t-1}^H$. Es decir, debería ser $P_{T,t}^H=\left[\theta_T (P_{T,t-1})^{1-\varepsilon}+(1-\theta_T)(\bar{P}_{T,t}^H)^{1-\varepsilon}\right]^{\frac{1}{1-\varepsilon}}$. Divide esta expresión por $P_{T,t-1}^H$ para obtener $$\frac{P_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}=\left[\theta_T+(1-\theta_T)\left(\frac{\bar{P}_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)^{1-\varepsilon}\right]^{\frac{1}{1-\varepsilon}}$$ Llevando el exponente al otro lado, $$\left(\frac{P_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)^{1-\varepsilon}=\theta_T+(1-\theta_T)\left(\frac{\bar{P}_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)^{1-\varepsilon}$$
La linealización logarítmica procede entonces así (con tildes indicando valores en estado estacionario), $$\begin{align*} 0&=\theta_T+(1-\theta_T)\left(\frac{\bar{P}_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)^{1-\varepsilon}-\left(\frac{P_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)^{1-\varepsilon} \\ &=\theta_T+(1-\theta_T) \left[\widetilde{\left(\frac{\bar{P}_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right]\exp\{(1-\varepsilon)(\bar{p}_{T,t}^H-p_{T,t-1}^H)\}- \left[\widetilde{\left(\frac{P_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right]\exp\{(1-\varepsilon)\pi_{T,t}^H\} \\ &\approx \underbrace{\theta_T+(1-\theta_T) \left[\widetilde{\left(\frac{\bar{P}_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right] -\left[\widetilde{\left(\frac{P_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right]}_{=0}+\dots\\ & \qquad \qquad \dots+(1-\varepsilon)\left[(1-\theta_T)(\bar{p}_{T,t}^H-p_{T,t-1}^H)\left[\widetilde{\left(\frac{\bar{P}_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right]-\pi_{T,t}^H\left[\widetilde{\left(\frac{P_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right]\right] \end{align*}$$
Por lo tanto, $$\pi_{T,t}^H\left[\widetilde{\left(\frac{P_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right] =(1-\theta_T)(\bar{p}_{T,t}^H-p_{T,t-1}^H)\left[\widetilde{\left(\frac{\bar{P}_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right]$$
En estado estacionario, $\left[\widetilde{\left(\frac{P_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right]=\left[\widetilde{\left(\frac{\bar{P}_{T,t}^H}{P_{T,t-1}^H}\right)}^{1-\varepsilon}\right]=1$. Entonces, nuestra expresión se simplifica a la deseada: $$\pi_{T,t}^H =(1-\theta_T)(\bar{p}_{T,t}^H-p_{T,t-1}^H)$$
