Función no decreciente para la transformación de utilidad

Question

Estaba revisando el Teorema 2:

Supongamos que $u(x)$ representa las preferencias de los agentes, $\succsim$ y $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente. Entonces la nueva función de utilidad $v(x) = f(u(x))$ también representa las preferencias del agente $\succsim$. Así que matemáticamente: $v(x) \geq v(y) \iff x \succsim y$

Tengo problemas para entender esta afirmación de doble implicación anterior.

Supongamos que $f$ no es estrictamente creciente (es decir, solo una función no decreciente) y si hacemos una transformación monótona (no estricta) de la utilidad (como esto) $v : z \mapsto 0$ entonces para dos alternativas $x,y$ se tiene $x \succ y$ pero sus valores de utilidad $v(u(x)) = v(u(y))$ son iguales. Así que ¿no deberíamos considerar que satisface la relación de equivalencia anterior? Ya que para $x \succsim y$ tenemos $x\succ y$ verdadero y para $u(x) \geq u(y)$ tenemos $u(x) = u(y)$ verdadero, lo que hace que la equivalencia se cumpla también para una función no decreciente.

Sé que esto es incorrecto, ya que el orden no se mantiene después de la transformación, pero no logro entenderlo en forma de afirmación matemática de doble implicación, ¿qué estoy haciendo mal aquí?

Answer 1

Dado que $u(x)$ representa $\succsim$, $\succsim$ debe ser racional. Por completitud, $\neg (x\succsim y) \iff x \prec y$. Por lo tanto, la afirmación de que $$v(x) \geq v(y) \iff x\succsim y, \forall x, y$$ es equivalente a su contrapositiva (para ambos lados): $$v(x) < v(y) \iff x \prec y, \forall x, y$$ Elija cualquier $x\prec y$, deberíamos tener $u(x) < u(y)$. Sin embargo, supongamos que su transformación $f$ es constante (no estrictamente creciente, pero no estrictamente decreciente), $f(u(x)) = f(u(y))$. Es decir, no $v(x) < v(y)$, lo cual significa que $v(\cdot)$ no representa $\succsim$.