Derivación en "Una Contribución a la Teoría del Crecimiento Económico" de Robert Solow

Question

Estoy intentando estudiar las derivaciones en el papel de 1956 de Robert Solow 'Una contribución a la teoría del crecimiento económico'. En las páginas 73 a 76 él pasa por un ejemplo donde la función de producción utilizada en el modelo es $$ Y = F(K, L) = \min(\frac{K}{a}, \frac{L}{b}) $$ En la página 74, Solow escribe 'Supongamos que el valor inicial de la ratio capital-trabajo es $ r_0 > \frac{a}{b} $, entonces $\dot{r} = \frac{s}{b} - n_1r$, cuya solución es $ r = (r_0 - \frac{s}{n_1b})e^-{^{n_0}}^t + \frac{s}{n_1b} $'.

Entiendo por qué $\dot{r} = \frac{s}{b} - n_1r$, pero no estoy seguro de cómo esto implica que $ r = (r_0 - \frac{s}{n_1b})e^-{^{n_0}}^t + \frac{s}{n_1b} $ ?

Gracias

Answer 1

Para derivar esta ecuación, puedes usar el método del factor integrante. Tienes la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

$$\frac{dr}{dt}+n_1r=\frac{s}{b}.$$

El factor integrante para esta ecuación es $M(t)=e^{\int n_1dt}=e^{n_1t}$. Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por $M(t)$ obtenemos:

$$e^{n_1t}\left(\frac{dr}{dt}+n_1r\right)=e^{n_1t}\frac{s}{b}.$$

Observa que $\frac{d}{dt}\left[ re^{n_1t}\right]=e^{n_1t}\left(\frac{dr}{dt}+n_1r\right)$. Sustituyendo esto en la ecuación diferencial obtenemos

$$\frac{d}{dt}\left[ re^{n_1t}\right]=e^{n_1t}\frac{s}{b},$$

o

$$d\left[ re^{n_1t}\right]=e^{n_1t}\frac{s}{b}dt.$$

Integrando ambos lados con respecto a los diferenciales

$$\int d\left[ re^{n_1t}\right]=\int e^{n_1t}\frac{s}{b}dt,$$

$$re^{n_1t}=e^{n_1t}\frac{s}{n_1b}+C$$

$$r=\frac{s}{n_1b}+Ce^{-n_1t}.$$

Al evaluar $r(t)$ en $t=0$ obtenemos

$$r_0=\frac{s}{n_1b}+C\implies C=r_0-\frac{s}{n_1b}.$$

Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial es

$$r=\frac{s}{n_1b}+\left(r_0-\frac{s}{n_1b}\right)e^{-n_1t}.$$