Probando como en Fama & MacBeth vs. comparando modelos como en las notas de clase de Cochrane

Question

Prueba de un modelo contra su extensión como en Fama & MacBeth (1973)

Fama & MacBeth (1973) probaron el CAPM contra una alternativa que la dependencia entre el rendimiento esperado en exceso $E(r_{i,t}^)$ y el riesgo sistemático relativo $\beta_$ es no lineal (es decir, cuadrático) y que el riesgo idiosincrásico $\sigma_i$ ordena un rendimiento esperado distinto de cero. La regresión transversal correspondiente es (usando una notación diferente a la original, pero manteniendo el número de la ecuación para referencia) $$ r_{i,t}^ = \lambda_0 + \lambda_1 \beta_i + \lambda_2 \beta_i^2 + \lambda_3 \sigma_i + u_{i,t}. \tag{7} $$ Dado que $\beta_i$ y $\sigma_i$ no se observan, se utiliza un procedimiento de dos etapas donde primero se estiman $\beta_i$ y $\sigma_i$ a partir de regresiones de series temporales y luego se utilizan sus valores ajustados en regresiones transversales (una para cada período de tiempo) del tipo especificado anteriormente. El CAPM implica $\lambda_0=\lambda_2=\lambda_3=0$ y $\lambda_1>0$.

Simplifiquemos y eliminemos el término $\lambda_2 \beta_i^2$ para obtener $$ r_{i,t}^ = \lambda_0 + \lambda_1 \beta_i + \lambda_3 \sigma_i + u_{i,t}. \tag{*} $$ El CAPM implica $\lambda_0=\lambda_3=0$ y $\lambda_1>0$. Esto se puede usar para probar el modelo. Si los valores estimados son estadísticamente distinguibles de lo que el modelo implica, tenemos evidencia en contra del modelo.

Comparando un modelo contra un submodelo como sugiere Cochrane

También podríamos considerar que $(*)$ sea un competidor del CAPM y preguntar, ¿cuál es el mejor modelo? Esto es lo que John Cochrane escribe sobre probar un modelo versus otro (sección 14.6 en sus notas de clase para el curso Business 35150 Advanced Investments, p. 239-240):

1. Ejemplo. FF3F. $$ E(R^{ei}) = \alpha_i + b_i\lambda_{rmrf} + h_i\lambda_{hml} + s_i\lambda_{smb} \tag{i) $$ ¿Realmente necesitamos el factor de tamaño? ¿O podemos escribir $$ E(R^{ei}) = \alpha_i + b_i\lambda_{rmrf} + h_i\lambda_{hml} \tag{ii} $$ ¿y funcionar igual de bien? ($\alpha$ aumentará, ¿pero aumentarán "mucho"?)

2. Un error común: Medir $\lambda_{smb} = E(smb)$. Si $\lambda_{smb} = 0$ (y "pequeño") podemos eliminarlo. ¿Por qué está mal esto? ¡Porque si eliminas $smb$ de la regresión, $b_i$ y $h_i$ también cambian!

<...>

4. Solución: (a) "Primero haz una regresión de $smb_t$ en $rmrf_t$ y $hml_t$ y toma el residual, $$ smb_t = \alpha_{smb} + b_s rmrf_t + h_s hml_t + \varepsilon_t \tag{iii} $$ Ahora, podemos eliminar $smb$ del modelo de tres factores si y solo si $\alpha_{smb}$ es cero. Intuitivamente, si los otros activos son suficientes para valorar $smb$, entonces son suficientes para valorar cualquier cosa que valore $smb$.

¿Contradicción?

¿Cómo reconcilio el enfoque de Fama & MacBeth con el consejo de Cochrane? El segundo punto de Cochrane está directamente en contra de lo que sugieren Fama & MacBeth. ¿Hay una contradicción? Fama & MacBeth buscan violaciones al CAPM, mientras que Cochrane nos muestra cómo comparar modelos alternativos. Estos no son exactamente lo mismo, pero parecen estar estrechamente relacionados, especialmente porque ambos tratan sobre un modelo y un submodelo (un modelo restringido). Si encuentro que el modelo B es mejor que el modelo A, ¿no sugiere que A se viola?

Referencias

• Cochrane, J. H. (2014). Week 5 Empirical methods notes. Business 35150 Advanced Investments, 225-247.
• Fama, E. F., & MacBeth, J. D. (1973). Riesgo, retorno y equilibrio: Pruebas empíricas. Journal of Political Economy, 81(3), 607-636.

Answer 1

Tanto Fama & Macbeth como Cochrane están jugando un poco suelto, estadísticamente, en sus procedimientos recomendados aquí. En primer lugar, el ruido numérico más o menos garantiza que medirás, por ejemplo, $\lambda_0 \neq 0$ y $\alpha_{smb} \neq 0$. Sin calificar qué barras de error realmente quieren emplear en estos criterios, la pregunta de si se contradicen es matemáticamente indeterminable.

Diré que el segundo punto de Cochrane no es una contradicción con F&M, aquí Cochrane simplemente señala que una regresión univariante no es forma de aprender los parámetros del modelo.

Para los lectores que se pregunten qué enfoque se debería tomar para distinguir entre un modelo y un submodelo, sugiero el artículo de 4 páginas Estimating the Dimension of a Model de Schwarz, en el cual vemos que el Criterio de Información Bayesiano (BIC) es preferible al Criterio de Información de Akaike (AIC) al elegir entre submodelos, porque este último no es consistente.

Al no recomendar el BIC en 2014, Cochrane está siendo un poco descuidado. (Realmente no puedo culpar a un artículo de 1973 por no tener AIC o BIC).

Answer 2

En esta respuesta, los términos interceptar, coeficiente de pendiente y $R^2$ se refieren a los valores de parámetros reales correspondientes al modelo de regresión en la población. No se refieren a estimaciones a menos que se especifique explícitamente.

Comparando un modelo contra un submodelo como sugiere Cochrane

El intercepto en cada una de las ecuaciones $(7)$, $(*)$, $(\text{i})$ y $(\text{ii})$ es informativo sobre la validez del modelo de fijación de precios de activos correspondiente. El modelo implica que el intercepto debe ser cero. Si el intercepto es distinto de cero, el modelo es inválido (es decir, no concuerda con los datos). Agregar o eliminar un factor de fijación (potencial) afectará la validez del modelo a menos que el intercepto no cambie. El intercepto en $(\text{i}) se mantiene igual solo si el intercepto en $(\text{iii})$ es cero. Por eso Cochrane recomienda probar si el intercepto en $(\text{iii})$ es cero como criterio para agregar o eliminar un factor de fijación (potencial). Le importa la validez del modelo, por lo tanto, la elección.

Probando un modelo contra su extensión como en Fama & MacBeth (1973)

El coeficiente de pendiente (como $s_i$ en $(\text{i})$) correspondiente a la sensibilidad de un activo a un factor de fijación (potencial) es informativo sobre la potencia explicativa del modelo. Si los rendimientos del activo varían con su sensibilidad al factor* condicional a las sensibilidades a otros factores en el modelo, el coeficiente de pendiente será distinto de cero (y el $R^2$ será mayor en un modelo que contiene el factor que en uno que no lo contiene). Si nos interesa si la presencia de un factor de fijación (potencial) agrega una potencia explicativa al modelo, podemos probar si el coeficiente de pendiente correspondiente es igual a cero.
Deberíamos tener en cuenta que tener esta potencia explicativa adicional podría hacer que el modelo de fijación sea inválido (o alejarlo más de la validez) a través de su impacto en el intercepto. Sin embargo, también es posible que la presencia del factor no solo mejore la potencia explicativa del modelo, sino que también haga que el modelo sea válido (o lo acerque a la validez) al mismo tiempo.

Cuándo usar qué enfoque

Como señala Cochrane en los puntos 5. y 6. en la pág. 240-241 de las notas de la conferencia vinculada, tener más potencia explicativa es beneficioso, ya que hace que los errores de regresión sean más pequeños y, por lo tanto, las medidas mejores (las estimaciones de los parámetros más precisas, las pruebas de hipótesis más potentes). Concluye que la inclusión de un factor depende del uso previsto del modelo. Por ejemplo, si desea arbitraje, la inclusión de un factor con alta potencia explicativa adicional es útil. Mientras tanto, si desea un modelo de fijación de activos válido (o más cercano a lo válido), preste atención al efecto que la inclusión o exclusión de un factor tiene en el intercepto.

*Excepto en el caso de $\sigma_i$ en $(7)$ y $(*)$; allí, $\sigma_i$ es una característica individual en lugar de sensibilidad al factor.