Prueba de que la independencia implica la monotonicidad en Osborne y Rubinstein

Question

Estoy luchando por entender una prueba en el libro de Osborne y Rubinstein Models in Microeconomic Theory (p. 35). El lema relevante es

Sea $Z$ un conjunto de premios. Supongamos que $\succeq$ es una relación de preferencia sobre $L(Z)$ y satisface la propiedad de independencia. Sean $a$ y $b$ dos premios con $[a] \succ [b]$, y sean $\alpha$ y $\beta$ dos probabilidades. Entonces $$\alpha > \beta \iff \alpha \cdot a \oplus (1 - \alpha) \cdot b \succ \beta \cdot a \oplus (1 - \beta) \cdot b.$$

La prueba que proporcionan es la siguiente:

Sea $p_{\alpha} = \alpha \cdot a \oplus (1 - \alpha) \cdot b$. Debido a que $\succeq$ satisface la propiedad de independencia, $p_{\alpha} \succ \alpha \cdot b \oplus (1 - \alpha) \cdot b = [b]$. Usando nuevamente la propiedad de independencia, tenemos $$p_{\alpha} = (\beta/\alpha) \cdot p_{\alpha} \oplus (1 - \beta/\alpha) \cdot p_{\alpha} \succ (\beta/\alpha) \cdot p_{\alpha} \oplus (1 - \beta/\alpha) \cdot b = \beta \cdot a \oplus (1 - \beta) \cdot b.$$ $\square$

No entiendo cómo esto demuestra ambas direcciones de la declaración de si y solo si en el lema. ¿No demuestra solo una dirección?

Answer 1

Tienes razón. Se proporciona la prueba para la proposición $\alpha > \beta \implies \alpha \cdot a \ \oplus (1-\alpha) \cdot b \succ \beta \cdot a \ \oplus (1-\beta) \cdot b$

Pero ten en cuenta que probar la conversa

$\alpha \cdot a \ \oplus (1-\alpha) \cdot b \succ \beta \cdot a \ \oplus (1-\beta) \cdot b\implies \alpha >\beta$

es lo mismo que probar su contrapositiva

$\beta \geq \alpha \implies \beta \cdot a \ \oplus (1-\beta) \cdot b \succsim \alpha \cdot a \ \oplus (1-\alpha) \cdot b$

y aquí el caso $\beta =\alpha$ es trivial, y la prueba para el caso cuando $\beta > \alpha$ es exactamente la misma que para $\alpha > \beta$ (se proporciona en la pregunta). Solo necesitamos invertir los roles de $\alpha$ y $\beta$.