Mi pregunta es la siguiente: ¿por qué es que la duración modificada puede explicar tan bien el cambio en el precio de los bonos? No entiendo la relación matemática detrás de esto, es decir, entre la duración modificada y el cambio porcentual en el precio del bono que predice. ¿Alguien puede darme la intuición detrás de esto? Gracias
Respuesta
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Amod Gokhale
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El precio del bono en términos de rendimiento (denotado "$y$") es simplemente el Valor Presente (PV) de los cupones del bono (denotados "$C$") y el Notional final (denotado $N$), descontado al rendimiento. Supongamos que el bono vence en 10 años, entonces el valor presente se puede escribir como (los rendimientos se expresan de forma anual para simplificar):
$$PV=\sum_{i=1}^{10} \frac{C}{(1+y)^i}+\frac{N}{(1+y)^{10}}$$
La duración modificada (denotada $MD$) es en realidad definida como el cambio porcentual del precio del bono con respecto al rendimiento.
¿Cómo calculamos el cambio del precio del bono con respecto al rendimiento? Simplemente tomamos la derivada, específicamente podemos escribir:
$$\frac{\partial PV}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \sum_{i=1}^{10} \left( \frac{C}{(1+y)^i} \right) + \frac{N}{(1+y)^{10}} \right)=(-1)(1+y)^{-1}\left( \sum_{i=1}^{10} \left( \frac{iC}{(1+y)^i} \right) + \frac{10N}{(1+y)^{10}} \right)$$
Lo anterior nos da el cambio absoluto en el precio del bono por 1 unidad de rendimiento. Entonces, si el rendimiento cambia en (digamos) 0.01 (que es igual al 1%), entonces introduces $y=0.01$ en la fórmula anterior y obtendrás el cambio absoluto (es decir, en dólares, en caso de que el bono esté denominado en USD) en el precio del bono.
La duración modificada es entonces simplemente lo anterior, dividido por $PV$ y multiplicado por (-1) (es decir, para convertir el cambio absoluto en el precio del bono con respecto al rendimiento en un cambio porcentual del precio del bono con respecto al rendimiento):
$$MD:=\frac{-1}{PV}*\frac{\partial PV}{\partial y}=\frac{\left( \sum_{i=1}^{10} \left( \frac{iC}{(1+y)^i} \right) + \frac{10N}{(1+y)^{10}} \right)}{(1+y)*PV}$$
