Variable dropped for collinearity in paquete feols en R (TWFE)

Question

Disculpe si esta es una pregunta básica (soy nuevo en econometría). Tengo el siguiente modelo de regresión:

$Y_{i,t} = \alpha_i + \gamma_t + \beta_1\cdot X_{1,i,t} + \beta_2 \cdot X_{2,i} + \beta_3 \cdot X_{3,i,t} + \epsilon_{i,t}$

donde ( i ) simboliza países y ( t ) simboliza el tiempo en años. $X_1$, $X_2$ y $X_3$ son mis variables independientes.

Quiero calcular los coeficientes de esta regresión cuando $X_2$ cambia entre diferentes países, pero no con el tiempo. El modelo actual que estoy ejecutando en R elimina mi variable $X_2$ debido a la multicolinealidad, y creo que es porque $X_2$ no cambia con el tiempo.

Esta es mi fórmula de regresión: fit_fe <- feols(Donation_per_pop ~ Type_opt + percentage_catholics + GDP | Country + Year , data=data_clean_na, se=vcov_cluster())

¿Cómo puedo incluir correctamente $X_2$ (percentage_catholics) en mi modelo de regresión TWFE sin que sea eliminado debido a la multicolinealidad?

Gracias

Answer 1

Cuando incluyes efectos fijos de país $\alpha_i$ en tu modelo, estás incluyendo una variable ficticia para cada país.

Sin embargo, no puedes tener una variable ficticia para cada $i$, y aún así identificar el coeficiente $\beta_2$ en la variable $X_{2i}$ que solo varía a lo largo de $i$. El coeficiente $\beta_2$ en $X_{2i}$ solo puede ser identificado por la variación de sección cruzada - la variación entre países - porque no tiene variación temporal. Sin embargo, toda esa variación es capturada por los efectos fijos $\alpha_i$.

Es fácil ver esto. Considera el hecho de que para cada $i$ simplemente puedes establecer $\lambda_i=\beta_2X_{i2} + \alpha_i$, luego el modelo se convierte en

$Y_{i,t} = \lambda_i + \gamma_t + \beta_1\cdot X_{1,i,t} + \beta_3 \cdot X_{3,i,t} + \epsilon_{i,t},$

el modelo que deseas estimar es indistinguible de un modelo con otro valor de los efectos fijos pero sin $\beta_2X_{i2}$.