Creo que la respuesta de @1muflon1 es bastante correcta.
Establecer un pequeño modelo puede hacer que algunos conceptos sean un poco más claros. El modelo no es general. Sin embargo, creo que ilustrará lo que Hal Varian intenta en el capítulo mencionado.
El capítulo está disponible aquí con el gráfico ilustrado en la página 417.
Considere una tecnología de producción Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala con una producción dada por la función de producción
\begin{align} F(L,K) = \left(\frac{L}{\alpha}\right)^{\alpha}\left(\frac{K}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}. \end{align} En el largo plazo, la empresa puede alterar el trabajo y el capital. Por lo tanto, el problema de minimización de costos a largo plazo minimiza el costo $wL + rK$ con respecto a $K$ y $L$ sujeto a $F(K, L)\geq Y$. La solución a este problema es
\begin{align} C(Y) = (w^\alpha r^{1-\alpha}) \times Y, \end{align} lo que implica que el costo promedio a largo plazo (LRAC) y el costo marginal a largo plazo (LRMC) son iguales a los costos unitarios \begin{align} LRAC = LRMC = w^\alpha r^{1-\alpha}. \end{align} Bajo competencia perfecta con libre entrada, el precio de equilibrio $p^\star = LRAC = LRMC = w^\alpha r^{1-\alpha}$.
En el corto plazo, el capital está fijo y asumo que cada empresa utiliza $\bar K$ unidades de capital. Por lo tanto, cada empresa tiene un costo fijo igual a \begin{align} F = r\bar K. \end{align} En el corto plazo, la empresa minimiza el costo con respecto a $L$. Defino $\beta(K) = \left(\frac{K}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}$ y invierto la función de producción en $L$ para obtener que \begin{align} L = \alpha \left(\frac{Y}{\beta(K)}\right)^{1/\alpha}, \end{align} lo que implica que la función de costo a corto plazo se da como \begin{align} SC = \alpha w \left(\frac{Y}{\beta(K)}\right)^{1/\alpha} + F = \gamma Y^{1/\alpha} + F, \end{align} con $\gamma:=\alpha w/\beta(K)^{1/\alpha}$.
En el corto plazo, las empresas actúan competitivamente y por lo tanto maximizarán las ganancias tomando el precio como dado. Por lo tanto, resuelven el problema \begin{align} \max_{Y_i} \ \ \ p' Y_i - \left[\gamma Y_i^{1/\alpha} + F\right], \end{align} lo que implica que el precio será igual al costo marginal a corto plazo \begin{align} p' = \frac{\gamma}{\alpha} Y_i^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}, \end{align} y por lo tanto, la empresa individual suministrará \begin{align} Y_i = \left(\frac{\alpha}{\gamma} p' \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}. \end{align} Luego asumo que las empresas usan la misma tecnología de producción y cantidades idénticas de capital - por lo tanto, para todas las empresas $K=\bar K$ - de modo que la oferta total a corto plazo se da simplemente como \begin{align} S(p') = N Y_i(p') = N \left(\frac{\alpha}{\gamma} p' \right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}. \end{align} Finalmente, asumo que la demanda se da simplemente como \begin{align} D(p') = \frac{I}{p'}. \end{align} Las curvas de oferta y demanda ahora se pueden trazar para diferentes valores de $N$ correspondientes al número de empresas. La elección de los valores de los parámetros se puede leer en el código r utilizado para generar el gráfico.
![Oferta para un número creciente de empresas]()
Además, el precio de equilibrio a corto plazo se da como la solución a $D(p') = S(p')$ lo que resulta en el precio de equilibrio a corto plazo \begin{align} p^\star_{N} = \left(\frac{I}{N}\right)^{1-\alpha} \left(\frac{\gamma}{\alpha}\right)^{\alpha}, \end{align} que luego se reinvierte en la oferta individual a corto plazo para encontrar el suministro individual de la empresa en equilibrio
\begin{align} Y^\star_{i,N} = \left(\frac{I}{N} \times \frac{\alpha}{\gamma}\right)^{\alpha} . \end{align} Finalmente, reinserando el precio de equilibrio a corto plazo y el suministro individual en la función de beneficios, se encuentra que el beneficio en el equilibrio a corto plazo es \begin{align} \Pi^\star_{i,N} = (1-\alpha) \left(\frac{I}{N} \right)-F. \end{align}
Las empresas ingresarán siempre que \begin{align} \Pi^\star_{i,N} = (1-\alpha) \left(\frac{I}{N} \right)-F > 0, \end{align} lo que implica que el número de empresas en equilibrio es $N^\star = (1-\alpha) \frac{I}{F}$.
En el ejemplo numérico, tomo $\bar K = 1$ y $r=1$ por lo que el costo fijo $F = r \bar K = 1$. El ingreso gastado por los consumidores en el mercado $I=100$ y $\alpha=0.3$ por lo que el número de empresas en equilibrio es $N^\star = 70$.
w <- 1
r <- 1
alpha <- 0.3
K_bar <- 1
beta <- (K_bar/(1-alpha))^(1-alpha)
gamma <- alpha*w/beta^(1/alpha)
I <- 100
# Calcula el costo fijo
F <- r*K_bar
p_star <- r^(1-alpha) * w^alpha
demanda <- function(p)
{
out <- I/p
return(out)
}
oferta <- function(p)
{
k <- (alpha/gamma)^(alpha/(1-alpha))
out <- k*p^(alpha/(1-alpha))
return(out)
}
p <- seq(0,15,length.out=100)
plot(demanda(p),p,xlim=c(0,150),type="l")
points(5*oferta(p),p,col="red",type="l")
points(15*oferta(p),p,col="red",type="l")
points(25*oferta(p),p,col="red",type="l")
points(35*oferta(p),p,col="red",type="l")
points(45*oferta(p),p,col="red",type="l")
points(55*oferta(p),p,col="red",type="l")
points(70*oferta(p),p,col="red",type="l",lwd=2)
abline(h=p_star,col="blue",lwd=2)
# Producción a largo plazo
Y_bar <- (alpha*F/((1-alpha)*gamma))^alpha
P_bar <- (gamma/alpha)*Y_bar^((1-alpha)/alpha)
N <- I/(P_bar*Y_bar)
abline(v=Y_bar*N,lwd=2)
n_vec <- c(5,15,25,35,45,55,70)
p_N_star <- function(N)
{
out <- ((I/N)^(1-alpha))*((gamma/alpha)^alpha)
return(out)
}
y_N_star <- function(N)
{
out <- ((I/N)*(alpha/gamma))^alpha
return(out)
}
precios <- p_N_star(n_vec)
cantidades <- y_N_star(n_vec)*n_vec
points(cantidades,precios,pch=20)
beneficio <- function(N)
{
out <- (1-alpha)*(I/N) - F
return(out)
}
beneficio(n_vec)
