Valor esperado de la variable aleatoria en términos de la función de riesgo

Question

Estoy leyendo la Teoría de Subastas de Krishna. Actualmente estoy atascado en el Apéndice A donde escribe,

Ahora entiendo la ecuación A2,

lo que no entiendo es para una tasa de peligro definida como sigue:

él escribe

He intentado durante mucho tiempo pero no he logrado entender esto.

Answer 1

Aquí $F$ es la función de distribución acumulada de la variable aleatoria no negativa $X$ con soporte $[0,\omega]$, y $f$ denota su función de densidad de probabilidad. \begin{eqnarray*}\mathbb{E}\left(\frac{1}{\lambda(X)}\right) & = & \int_0^\omega\left(\frac{1-F(x)}{f(x)}\right)f(x) dx \\ & = & \int_0^\omega (1-F(x))dx \\ & = & \int_0^\omega \int_x^\omega f(t) dt dx \\ & = & \int_0^\omega\int_0^tf(t) dxdt \\ &=& \int_0^\omega f(t)\int_0^t dx dt \\ &=& \int_0^\omega f(t)t dt \\ & = & \mathbb{E}(X)\end{eqnarray*}