Rendimientos esperados vs rendimientos anualizados

Question

Estoy haciendo un ejercicio donde se asume que hay un 50% de probabilidad de que el mercado gane un 30% y un 50% de probabilidad de que el mercado pierda un 10%, cada año. Tengo que calcular el rendimiento anualizado.

Para calcular el rendimiento anualizado, pensé que simplemente puedo tomar el rendimiento esperado es decir 0.5*(1+0.3) + 0.5* (1-0.1) = 1.1

pero si lo modelo como una ganancia del 30% en el primer año y una pérdida del 10% en el segundo año, entonces el rendimiento en 2 años es 1.3*0.9 = 1.17, por lo tanto el rendimiento anualizado es sqrt(1.17)-1 es decir 8.17%

¿Cuál es el enfoque correcto y por qué? Muchas gracias

Answer 1

Creo que estás confundiendo el rendimiento esperado de una combinación de dos activos con el rendimiento esperado de un activo durante dos períodos.

Tienes 4 posibles combinaciones con (en este caso) igual probabilidad:

+30%, +30% = 1,69
+30%, -10% = 1,17
-10%, +30% = 1,17
-10%, -10% = 0,81

Entonces, tu rendimiento esperado es la suma de la probabilidad y el rendimiento de cada caso:

(0,5 * 0,5 * 1,69) 
+ (0,5 * 0,5 * 1,17) 
+ (0,5 * 0,5 * 1,17) 
+ (0,5 * 0,5 * 0,81) 
= 1,21

Por lo tanto, +21% sería el rendimiento esperado a 2 años. Anualizar eso te daría un rendimiento esperado de

SQRT(1,21) = 1,10 = +10% (Anualizado)

En general, uno construiría un árbol con cada posibilidad y usaría la probabilidad de cada nodo para construir el resultado y la probabilidad de cada camino. En este caso, dado que ambos caminos son igualmente probables, cada combinación también es igualmente probable.

Answer 2

Esta pregunta destaca la diferencia entre el uso de la media aritmética (para el rendimiento esperado) y la media geométrica (para el rendimiento anualizado).

El rendimiento esperado se cubre aquí, por ejemplo (cifras actualizadas)

si una inversión tiene un 50% de probabilidad de ganar un 30% y un 50% de probabilidad de perder un 10%, el rendimiento esperado sería del 5% = (50% x 30% + 50% x -10% = 10%).

En otras palabras, media aritmética: (0.3 - 0.1)/2 = 0.1

El uso de la media geométrica se describe aquí:

¿Por qué usar la media geométrica en lugar de la media aritmética para los rendimientos?

Se utiliza porque incluye el efecto del crecimiento compuesto de diferentes períodos de rendimiento. Por lo tanto, se considera una forma más precisa de medir el rendimiento de la inversión.

((1 + 0.3)*(1 - 0.1))^(1/2) - 1 = 8.16654 %

Citando a Investopedia con cifras actualizadas:

Como se muestra, con un 8.16654%, la media geométrica proporciona un rendimiento que es peor que la media aritmética del 10%. Pero es el resultado que representa la realidad en este caso.

¿Cómo funciona la media geométrica?

La media geométrica efectivamente "promedia" los factores de crecimiento para encontrar el factor de crecimiento único equivalente que, cuando se aplica de manera consistente durante varios períodos, produce el mismo valor final que las tasas de crecimiento originales. Está diseñada para manejar relaciones multiplicativas, que es exactamente lo que tenemos con los factores de crecimiento. Al encontrar el factor de crecimiento único equivalente, proporciona un promedio significativo que refleja con precisión el crecimiento general durante varios períodos.

Confirmación de resultados con simulación

La verificación a continuación ejecuta tres simulaciones de 10m, todas dando resultados bastante cercanos al esperado 0.0816654. Se necesitaron 10m para suavizar el ruido.