Cambio paralelo en la curva de rendimiento spot mueve la TIR de una cartera de bonos en la misma dirección: Prueba analítica

Question

Estoy tratando de demostrar que un cambio paralelo en la curva de rendimiento al contado tendrá como efecto que la TIR de una cartera de bonos se mueva en la misma dirección y por la misma cantidad.

He probado esto en unas pocas carteras simples y la afirmación parece sostenerse empíricamente, pero me gustaría demostrarlo matemáticamente (si es válido y no solo estoy interpretando algo incorrectamente).

Para comenzar con un caso manejable, que espero revele cómo se debe tratar uno más complejo, asumamos que tenemos una cartera de un bono cupón cero que vence en 1 año con valor nominal de 100 (denotado como $ZCB_1$), y un bono cupón cero que vence en 2 años con valor nominal de 100 (denotado como $ZCB_2$).

También asumamos que observamos lo siguiente en la curva de rendimiento al contado:

$$\text{Tasa al contado para vencimiento de 1 año es } y_1 = 2\%$$ y $$\text{Tasa al contado para vencimiento de 2 años es } y_2 = 4 \%.$$

Las suposiciones anteriores implican que los valores presentes de los bonos cupón cero en nuestra cartera son

$$VP(ZCB_1)=\frac{100}{1.02}=98.0392$$ $$VP(ZCB_2)=\frac{100}{(1.04)^{2}}=92.4556.$$

Eso significa que ahora podemos calcular la TIR de nuestra cartera al resolver la siguiente ecuación para la TIR $$98.0392+92.4556=\frac{100}{1+IRR}+\frac{100}{(1+IRR)^{2}}.$$

Si introduzco esto en Mathematica, obtengo $$IRR = 0.033$$

Si ahora asumimos un cambio paralelo de +1% en la curva de rendimiento al contado, tendríamos

$$\text{Tasa al contado para vencimiento de 1 año después de este cambio paralelo es } \overline{y}_1 = 3\%$$ y $$\text{Tasa al contado para vencimiento de 2 años después de este cambio paralelo es } \overline{y}_2 = 5 \%.$$

Podríamos repetir el mismo proceso que antes y terminar con después del cambio $IRR$ siendo igual a $$\overline{IRR}=0.043.$$

Por lo tanto, nuestra TIR aumentó en un 1% después del cambio paralelo positivo del 1% en la curva de rendimiento.

Estoy tratando de demostrar esta relación analíticamente para este caso muy simple de dos bonos que vencen en 1 y 2 años. La cuestión es que usando mi enfoque directo, esto muy rápidamente se vuelve bastante tedioso y estoy pensando que podría haber una manera mucho más simple de hacer esto?

Este es mi intento:

$$\frac{100}{1+y_1}+\frac{100}{(1+y_2)^2}=\frac{100}{t}+\frac{100}{t^2}$$ $$\text{Si introducimos } t = 1+IRR, \text{entonces tenemos}$$ $$\frac{100}{1+y_1}+\frac{100}{(1+y_2)^2}=\frac{100}{t}+\frac{100}{t^2}$$ $$t^2\left( \frac{100}{1+y_1}+\frac{100}{(1+y_2)^2}\right)-100t-100=0$$ $$t_{1,2}=\frac{100 \pm \sqrt{10000+400\left( \frac{100}{1+y_1}+\frac{100}{(1+y_2)^2}\right)}}{2\left(\frac{100}{1+y_1}+\frac{100}{(1+y_2)^2} \right)}$$ $$IRR_1=\frac{100 + \sqrt{10000+400\left( \frac{100}{1+y_1}+\frac{100}{(1+y_2)^2}\right)}}{2\left(\frac{100}{1+y_1}+\frac{100}{(1+y_2)^2} \right)}-1$$

Ahora, si asumo un cambio paralelo positivo de $\delta$, para demostrar lo que estoy buscando, tendría que demostrar que $\overline{IRR} = IRR_1 + \delta$, es decir, que se cumple la siguiente ecuación:

$$\frac{100}{1+y_1+\delta}+\frac{100}{(1+y_2+\delta)^2}=\frac{100}{1+IRR_1+\delta}+\frac{100}{(1+IRR_1+\delta)^2}.$$

Esto es aproximadamente donde pierdo toda mi fe y confianza en que estoy haciendo lo correcto porque se vuelve tan complicado.

Answer 1

Primero, para un cambio paralelo, $x$, en la curva de rendimiento, se muestra que para cualquier bono, $i$, $$\frac{\partial P_i}{\partial x} < 0, \implies \frac{\partial P}{\partial x} = \sum_i \frac{\partial P_i}{\partial x} < 0$$ Es decir, a medida que las tasas suben, los precios de los bonos bajan. Dado que cada bono baja de precio, toda la cartera también baja de precio.

Ahora,

$$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial Irr} \frac{\partial Irr}{\partial x} < 0 $$

Por lo tanto, o bien;

• $\frac{\partial P}{\partial Irr}$ es negativo y $\frac{\partial Irr}{\partial x}$ es positivo, o,
• $\frac{\partial P}{\partial Irr}$ es positivo y $\frac{\partial Irr}{\partial x}$ es negativo.

En casos muy simples, es decir, para una cartera de un solo bono, es fácil mostrar que $\frac{\partial P}{\partial Irr} < 0$. Podría generalizarse esto, posiblemente por inducción, o mirando la suma de cada bono individual. Entonces se muestra tu requisito de que:

$$\frac{\partial Irr}{\partial x} > 0$$

Es decir, tanto la TIR como el spread se mueven en la misma dirección. Como se esperaba.