¿Por qué tendrían gamma las opciones?

Question

No entiendo intuitivamente por qué las opciones tienen convexidad. La ganancia de las opciones ITM es completamente lineal, por eso puedo entender que haya convexidad en las opciones.

Veamos el siguiente ejemplo. Tengo una llamada en $C$ con el activo subyacente $S$. $C$ tiene gamma: $\Gamma_1$ y delta $\Delta_1$. Ahora, si la acción sube $1bp$, tenemos:

$C = C + \Delta_1 \cdot 0.001 + \frac{1}{2} \cdot \Gamma_1 \cdot 0.001^2$

Ahora la opción tiene un nuevo $\Delta_2 = \Delta_1 + 0.001 \cdot \Gamma_1$ y un nuevo $\Gamma_2$, ahora si la acción baja $1$bp, obtenemos que el precio de la opción es:

$C = C + \Delta_1 \cdot 0.001 + \frac{1}{2} \cdot \Gamma_1 \cdot 0.001^2 - \Delta_2 \cdot 0.001 + \frac{1}{2}\Gamma_2 \cdot 0.001^2 = C - \frac{1}{2} \Gamma_1 \cdot 0.001^2 + \frac{1}{2} \Gamma_2 \cdot 0.001^2$

Después de que la acción sube $1$bp y luego baja $1$bp, ¿deberíamos esperar que el precio de la llamada permanezca igual?

Entonces, básicamente deberíamos tener: $\Gamma_2 = \Gamma_1$? lo cual es obviamente falso. Si la opción es OTM entonces $\Gamma_2 > \Gamma_1$ y por lo tanto, estamos seguros de ganar dinero.

Lo que significa que para una opción de compra OTM si la acción sube y baja una cantidad infinita de veces por un bp, entonces el valor de la opción de compra es infinito incluso si la opción es OTM. Y si la opción es ITM, entonces el valor de la opción de compra tiende a 0. No tiene sentido.

Entonces supongo que deberíamos perder en otro lugar. ¿Es porque $\Gamma$ está de alguna manera relacionado con $\theta$ y por lo tanto $\Gamma$ refleja el hecho de que si la acción sube y luego baja por $1$ bp entonces durante ese desplazamiento hacia arriba hacia abajo pasa tiempo (por ejemplo $1s$), lo cual es malo para la opción OTM entonces pierdes lo que ganas por theta, y para la opción ITM ganas dinero porque si la acción no se mueve es bueno para ti, por lo que pierdes en Gamma lo recuperas en theta?

Pero luego, si hago estos movimientos hacia arriba y abajo por la misma cantidad con un intervalo de tiempo para estos movimientos igual a $\delta \to 0$, ¿entonces gano dinero infinito en opciones OTM?

Answer 1

Veo dos suposiciones incorrectas que pueden responder tus preguntas:

El pago de las opciones en el dinero es completamente lineal, por eso puedo entender que haya convexidad en las opciones.

El pago al vencimiento es lineal por tramos (lineal si la opción está en el dinero, constante en 0 de lo contrario). Pero antes del vencimiento, el valor es no lineal con convexidad. Una opción que actualmente está fuera del dinero tiene cierta probabilidad de vencer en el dinero, por lo que tiene valor y no tiene la misma discontinuidad de la pendiente en el precio de ejercicio que el gráfico final de pago.

Puedes buscar imágenes del valor de opciones y ver que efectivamente es una curva.

Después de que la acción suba 1 bp y luego baje 1 bp, ¿deberíamos esperar que el precio de la call se mantenga igual, verdad?

Sí, pero la expansión de Taylor con Delta y Gamma no da el precio de la opción exacto después de los movimientos al alza y a la baja, solo una aproximación, porque Gamma tampoco es constante. Habría factores de tercer, cuarto, etc. orden que explicarían la diferencia entre los cambios al alza y a la baja.

Estoy seguro de que hay explicaciones matemáticas más sofisticadas, pero la conclusión es que tu "igualdad" no necesariamente se cumple debido a la aproximación de Taylor.

Answer 2

Piénsalo de esta manera. Toma una llamada de \$50 en una acción de \$1. Por supuesto, hay poco delta en esta llamada. Ahora, imagina que el precio sube de \$1 a \$2. La acción se duplicó y sin embargo el delta sigue siendo básicamente 0 para la llamada.

Ahora, imagina que la acción sube a \$40. De repente, los movimientos de precio tendrán un aumento significativo en el delta. Eso es el gamma. El aumento en delta de \$1 a \$2 es mucho menor que de \$40 a \$41 (aunque como porcentaje del precio no es tanto como de \$1 a \$2).

Answer 3

No sé mucho sobre opciones, pero si el precio spot sube y luego baja, eso significa que el tiempo pasa y las opciones son sensibles al tiempo. Por lo tanto, el precio de la opción no será el mismo manteniendo todos los griegos constantes a medida que pasa el tiempo, incluso si el precio spot no se mueve.