La formulación de Jamshidian de Black Derman Toy

Question

En su trabajo de 1991 sobre la inducción hacia adelante de la calibración del árbol binomial en el modelo BDT, se afirma que

$$r(t) = U(t)\exp(\sigma(t)W(t))$$

donde $r$ es la tasa corta modelada por Black Derman Toy. Además se afirma que $U$ anterior es la mediana de la distribución de tasas cortas en el tiempo $t$. Ahora, si recuerdo correctamente, en el modelo BDT la tasa corta se modela como $$d\log(r(t)) = \left[\theta(t) - \frac{\sigma'(t)}{\sigma(t)}\log(r(t))\right]dt + \sigma(t)dW$$ Ahora puedo ver que $r(t)$ podría ser puesto en la forma anterior, pero ¿cómo se justifica la afirmación de que $U(t)$ es la mediana?

Después de algunas búsquedas en Google, no puedo encontrar una referencia para esto.

Answer 1

Basta probar $\mathbb{P}(r(t) \ge U(t))=\frac{1}{2}$ lo cual es verdadero porque $$\begin{align} \mathbb{P}(r(t) \ge U(t))&=\mathbb{P}(\exp{\sigma(t)W(t)} \ge 1) = \mathbb{P}(W(t) \ge 0) = \frac{1}{2} \end{align}$$