Derivación del Índice de Precios Ideal

Question

Estoy estudiando el Capítulo 15 del libro de crecimiento de Acemoglu, que trata sobre el cambio tecnológico sesgado hacia la habilidad.

El bien final único se produce en competencia perfecta combinando la producción de los dos sectores intermedios, $Y_L$ y $Y_H$, de acuerdo con la siguiente restricción tecnológica:

\begin{equation} Y(t) = \left[\gamma_L Y_L(t)^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}} + \gamma_H Y_H(t)^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}}\right]^{\frac{\epsilon}{\epsilon - 1}} \end{equation}

donde $\epsilon \in [0, \infty)$ es la elasticidad de sustitución entre los dos intermedios.

Luego, el libro dice que el precio del bien final se normaliza a uno en cada $t$, lo que equivale a establecer el índice de precios ideal de los dos intermedios igual a uno, es decir,

\begin{equation} \left[\gamma_L^{\epsilon} p_L(t)^{1 - \epsilon} + \gamma_H p_H(t)^{1 - \epsilon}\right]^{\frac{1}{1 - \epsilon}} =1 \end{equation}

¿Puedes mostrarme cómo derivar la última expresión, por favor?

Answer 1

El índice de precios está dado por $c(p_L, p_H,1)$ que es el costo mínimo de producir 1 unidad de producción. Está dado por: $$ \min p_L Y_L + p_H Y_H \text{ s.t. } \left[\gamma_L Y_L^{(\varepsilon -1)/\varepsilon} + \gamma_H Y_H^{(\varepsilon-1)/\varepsilon}\right]^{\frac{\varepsilon}{1 - \varepsilon}} = 1. $$ Las condiciones de primer orden son: $$ \begin{align*} &p_L = \lambda Y^{-1} \gamma_L Y_H^{-1/\varepsilon}\\ &p_H = \lambda Y^{-1} \gamma_H Y_L^{-1/\varepsilon}. \end{align*} $$ Esto da como resultado: $$ Y_H = \left(\frac{p_L}{p_H}\right)^\varepsilon \left(\frac{\gamma_H}{\gamma_L}\right)^\varepsilon Y_L. $$ Sustituyendo en la restricción se obtiene: $$ Y_L = \gamma_L^{\varepsilon} p_L^{-\varepsilon} \left[\gamma_L^\varepsilon p_L^{1- \varepsilon} + \gamma_H^\varepsilon p_H^{1 - \varepsilon} \right]^{-\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}.\\ Y_H = \gamma_H^{\varepsilon} p_H^{-\varepsilon} \left[\gamma_L^\varepsilon p_L^{1- \varepsilon} + \gamma_H^\varepsilon p_H^{1 - \varepsilon} \right]^{-\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}. $$ Por lo tanto, $$ c(p_L, p_H, 1) = p_L Y_L + p_H Y_H = \left[\gamma_L^\varepsilon p_L^{1 - \varepsilon} + \gamma_H^\varepsilon p_H^{1 - \varepsilon}\right]^{\frac{1}{\varepsilon - 1}}. $$