¿Aumentar el Producto Promedio(AP) siempre implica aumentar el Producto Marginal(MP) en microeconomía?

Question

Estoy estudiando microeconomía y me encontré con una afirmación que no estoy seguro de que sea correcta:

"Si el producto promedio ($AP = F(X)/X$) siempre aumenta desde $X=0$, entonces el producto marginal ($MP = F'(X)$) también siempre aumenta desde $X=0$."

Donde:

• $F(X)$ es la función de producción
• $X$ es el input
• $AP$ es el producto promedio
• $MP$ es el producto marginal

Entiendo que cuando AP está aumentando, MP debe ser mayor que AP ($MP > AP$). Sin embargo, no estoy seguro de si esto necesariamente significa que MP en sí mismo debe siempre estar aumentando.

¿Es correcta esta afirmación? En caso afirmativo, ¿cómo se puede demostrar? En caso negativo, ¿hay algún contraejemplo?

Agradecería cualquier información, pruebas o contraejemplos que puedan ayudar a aclarar esta relación entre AP y MP.

Answer 1

Considera la siguiente función de producción:

$f(x)=\begin{cases} x^2 & x < 1 \\ x^{\frac{3}{2}} & x \geq 1\end{cases}$

En este caso, el producto promedio es $\text{AP}(x)=\dfrac{f(x)}{x}=\begin{cases} x & x < 1 \\ x^{\frac{1}{2}} & x \geq 1\end{cases}$

que está aumentando. Sin embargo, el producto marginal es

$\text{MP}(x)=\dfrac{df(x)}{dx}=\begin{cases} 2x & x < 1 \\ \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} & x > 1\end{cases}$

que claramente no está aumentando.