¿Cómo se deriva matemáticamente la fórmula de theta del Modelo de Black Scholes (sin aproximaciones)? Por favor, ayúdame a entender cada paso matemáticamente.
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Philippp
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Tienes un gran sitio web que muestra la derivación, paso a paso. Involucra tanto la regla de la cadena como la regla del producto.
https://quantpie.co.uk/bsm_formula/bs_theta.php
Si hay algún paso que no entiendas, por favor házmelo saber.
Saludos, Jules
boucekv
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103
En el modelo original de Black-Scholes-Merton, con la tasa de interés $r$ y el rendimiento de dividendos $q$ constantes, tienes $$ c = S e^{-q \left(T - t\right)} \Phi \left(d_1\right) - Ke^{-r \left(T - t\right)} \Phi \left(d_2\right); \quad \begin{cases} d_1 = \frac{1}{\sigma \sqrt{T - t}} \ln \left(\frac{S e^{-q \left(T - t\right)}}{K e^{-r \left(T - t\right)}}\right) + \frac{1}{2} \sigma \sqrt{T - t} \\ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T - t} \end{cases} $$ En esta fórmula, $t$ solo aparece en la diferencia $T - t$, por lo que podrías cambiar la variable $\tau := T - t$ para simplificarla, y simplemente usar la regla de la cadena $\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial c}{\partial \tau} \cdot \frac{\partial \tau}{\partial t} = - \frac{\partial c}{\partial \tau}$. Esto da como resultado $$ \frac{\partial c}{\partial t} = q S e^{-q \left(T - t\right)} \Phi \left(d_1\right) - r Ke^{-r \left(T - t\right)} \Phi \left(d_2\right) - S e^{-q \left(T - t\right)} \phi \left(d_1\right) \frac{\sigma}{2 \sqrt{T - t}} $$
La paridad entre opciones de compra y venta $p = c + K e^{-r \tau} - S e^{-q \tau}$ entonces daría como resultado $\frac{\partial p}{\partial \tau} = \frac{\partial c}{\partial \tau} - r K e^{-r \tau} + q S e^{-q \tau}$.
En el caso más general de tasas y dividendos no constantes, pero determinísticos, los términos $q \tau$ / $r \tau$ serían reemplazados por $\int_t^T{q_s \mathrm{d}s}$ / $\int_t^T{r_s \mathrm{d}s}$, cuya derivada con respecto a $t$ sería $-q_t$ / $r_t$, y la extensión sería directa.
Nota: en el modelo de parámetro constante, $\frac{\partial c}{\partial T} = - \frac{\partial p}{\partial t}$, por lo que el precio de un spread calendario infinitesimal es igual al opuesto de theta. En un modelo de parámetro no constante pero determinístico, esto ya no es cierto: el primero depende del extremo largo de la curva de rendimiento/dividendos, mientras que el segundo depende del extremo corto.
