Comparative Statics - Cambio Tecnológico de Aumento de Capital

Question

Estoy leyendo el artículo de Acemoglu y Restrepo (AEA Papers and Proceedings, 2018) y he encontrado algunas dificultades al derivar la ecuación (1). Espero que puedas ayudarme a trabajar en ello.

La producción agregada está dada por

\begin{equation} Y = F(A_K K, A_L L) \end{equation}

donde $K$ denota capital, $L$ representa trabajo, y $A_K$ y $A_L$ denotan tecnología que aumenta el capital y tecnología que aumenta el trabajo, respectivamente. Se asume que la función de producción $F$ es continuamente diferenciable, cóncava, y exhibe retornos constantes a escala.

Denotemos $F_K$ y $F_L$ como los productos marginales de capital y trabajo, respectivamente.

Asumiendo un mercado laboral competitivo, la tasa salarial $W$ debe satisfacer

\begin{equation} \frac{\partial Y}{\partial L} = W \quad \text{, es decir,} \quad W = A_L F_L(A_K K, A_L L) \end{equation}

La participación del trabajo en el ingreso nacional está denotada por

\begin{equation} s_L = \frac{WL}{Y} \end{equation}

y la participación del capital es $s_K = 1 - s_L$.

Luego, el artículo afirma que

\begin{equation} \frac{d \ln W}{d \ln A_K} = \frac{s_K}{\epsilon_{KL}} \end{equation}

donde $\epsilon_{KL} = - \frac{d \ln (K/L)}{d \ln (F_K/F_L)}$ es la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo.

Intenté derivar el resultado $\frac{d \ln W}{d \ln A_K} = \frac{s_K}{\epsilon_{KL}}$ de la siguiente manera:

Primero, nota que $\ln W = \ln A_L + \ln F_L(A_K K, A_L L)$. Por lo tanto,

\begin{equation} \frac{d \ln W}{d \ln A_K} = \frac{\frac{d W}{W}}{\frac{d A_K}{A_K}} = \frac{d W}{d A_K} \cdot \frac{A_K}{W} \end{equation}

Sustituyendo $W = A_L F_L$ en la ecuación, tenemos

\begin{equation} \frac{d \ln W}{d \ln A_K} = A_L \cdot \frac{\partial F_L}{\partial (A_K K)} \cdot \frac{\partial (A_K K)}{\partial A_K} \cdot \frac{A_K}{A_L F_L} \end{equation}

Esto se simplifica a:

\begin{equation} \frac{d \ln W}{d \ln A_K} = \frac{A_K K}{F_L} \cdot \frac{\partial F_L}{\partial (A_K K)} \end{equation}

Para avanzar, intenté multiplicar y dividir por $Y$, resultando en:

\begin{equation} \frac{d \ln W}{d \ln A_K} = \frac{s_K Y}{F_L} \cdot \frac{\partial F_L}{\partial (A_K K)} \end{equation}

Sin embargo, estoy teniendo dificultades para completar la derivación y llegar a la ecuación final dada en el artículo. ¿Podría alguien ayudarme a cerrar la brecha?

Answer 1

Hay un error al final de tu trabajo. La participación de capital es $s_K=\frac{RK}{Y}=\frac{A_K F_K K}{Y}$, no $\frac{A_K K}{Y}$. Corrigiendo este pequeño error, tu expresión final es (con argumentos obvios suprimidos), $$\frac{d \ln W}{d \ln A_K}=s_K \frac{Y}{F_K F_L} \frac{\partial F_L}{\partial A_K K}= s_K \frac{F F_{KL}}{F_K F_L}$$

Para el paso final, uno quiere demostrar que $\frac{1}{\varepsilon_{KL}}=\frac{F(A_K K, A_L L) F_{LK}(A_K K, A_LL)}{F_K(A_K K, A_L L) F_L(A_K K, A_L L)}$

Con este fin, dado que $F$ es homogéneo de grado 1, sus derivadas parciales son homogéneas de grado 0. Así que, $$\begin{align*} \ln (F_K/F_L) &=\ln \left(F_K\left(1,\frac{A_L L}{A_K K}\right)\right)-\ln \left(F_L\left(\frac{A_K K}{A_L L},1\right)\right) \\ &=\ln \left(F_K\left(1,\frac{A_L }{A_K}\exp\{-\ln(K/L)\}\right)\right)-\ln \left(F_L\left(\frac{A_K}{A_L}\exp\{\ln(K/L)\},1\right)\right) \end{align*}$$ Entonces, $$\frac{d \ln (F_K/F_L)}{d \ln (K/L)}=-\frac{1}{F_K}\frac{A_L L}{A_K K}F_{KL}\left(1,\frac{A_L L}{A_K K}\right)-\frac{1}{F_L}\frac{A_K K}{A_L L}F_{KL}\left(\frac{A_K K}{A_L L},1\right)$$ Dado que $F$ es homogéneo de grado 1, $F_{KL}$ es homogéneo de grado -1, así que nuestra expresión se simplifica a $$\begin{align*}\frac{d \ln (F_K/F_L)}{d \ln (K/L)}&=-\frac{1}{F_K(A_K K,A_L L)}\frac{A_L L}{A_K K}F_{KL}\left(1,\frac{A_L L}{A_K K}\right)-\frac{1}{F_L(A_K K,A_L L)}\frac{A_K K}{A_L L}F_{KL}\left(\frac{A_K K}{A_L L},1\right) \\ &=-\frac{1}{F_K}A_L LF_{KL}\left(A_K K,A_L L\right)-\frac{1}{F_L}A_K KF_{KL}\left(A_K K,A_L L\right) \\ &=- \frac{F_{KL}\left(A_K K,A_L L\right)}{F_K(A_K K,A_L L)F_L(A_K K,A_L L)}\left[A_L L F_L(A_K K,A_L L)+A_KKF_K(A_K K,A_L L)\right] \\ &=-\frac{F_{KL}\left(A_K K,A_L L\right)F(A_K K,A_L L)}{F_K(A_K K,A_L L)F_L(A_K K,A_L L)} \end{align*}$$

Donde he utilizado el teorema de Euler en la línea final.

Por lo tanto, $$\frac{1}{\varepsilon_{KL}}=-\frac{d \ln (F_K/F_L)}{d\ln (K/L)}=\frac{F(A_K K, A_L L) F_{LK}(A_K K, A_LL)}{F_K(A_K K, A_L L) F_L(A_K K, A_L L)}$$ y el resultado sigue.