El individuo invertirá el total de $\$ 10,000$, lo cual tiene sentido, ya que en el peor escenario aún obtiene un retorno positivo. Tiene que decidir qué fracción $\alpha$ invertir en el activo $A$ y qué fracción $1-\alpha$ invertir en el activo $B$.
Nota que si los retornos son iguales para ambos activos, la fracción invertida en cada uno es irrelevante. Entonces, su problema puede escribirse de la siguiente manera,
$$ \begin{aligned} \max _{\alpha} B= & \frac{1}{10} \sqrt{1.2 \times 10,000}+\frac{1}{10} \sqrt{1.05 \times 10,000} \\ & +\frac{4}{10} \sqrt{1.2 \times \alpha 10,000+1.05 \times(1-\alpha) 10,000} \\ & +\frac{4}{10} \sqrt{1.05 \times \alpha 10,000+1.2 \times(1-\alpha) 10,000} \end{aligned} $$
Primero, simplifiquemos el problema.
Dado que hay dos situaciones en las que $\alpha$ no afecta el resultado, podemos reescribir el problema de la siguiente manera,
$$ \begin{aligned} \max _{\alpha} \tilde{B}= & \frac{4}{10} \sqrt{1.2 \times \alpha 10,000+1.05 \times(1-\alpha) 10,000} \\ & +\frac{4}{10} \sqrt{1.05 \times \alpha 10,000+1.2 \times(1-\alpha) 10,000} \\ \max _{\alpha} B= & \frac{4 \sqrt{10,000}}{10}[\sqrt{1.2 \alpha+1.05(1-\alpha)}+\sqrt{1.05 \alpha+1.2(1-\alpha)}] \end{aligned} $$
Luego, simplemente resolvemos,
$$ \max _{\alpha} B=\sqrt{1.05+0.15 \alpha}+\sqrt{1.2-0.15 \alpha} $$
La condición de primer orden se da por:
$$ \frac{\partial B}{\partial \alpha}=0.15(1.05+0.15 \alpha)^{-\frac{1}{2}}-0.15(1.2-0.15 \alpha)^{-\frac{1}{2}}=0 $$
Luego,
$$ \begin{aligned} (1.05+0.15 \alpha)^{-\frac{1}{2}} & =(1.2-0.15 \alpha)^{-\frac{1}{2}} \\ 1.05+0.15 \alpha & =1.2-0.15 \alpha \\ 0.3 \alpha & =0.15 \end{aligned} $$
Luego, $\alpha=0.5$.
Esto no es sorprendente, dado que los activos son simétricos. Finalmente, verifiquemos que la condición de segundo orden se cumple:
$$ \frac{\partial^{2} B}{\partial \alpha^{2}}=-\frac{1}{2} 0.15^{2}(1.05+0.15 \alpha)^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}(-0.15)^{2}(1.2-0.15 \alpha)^{-\frac{3}{2}}<0 $$
