Cómo interpretar el significado físico de los vectores de cointegración de los precios logarítmicos en el mundo real

Question

Estoy tratando de entender el significado físico de los vectores de cointegración de los precios logarítmicos en el mundo real.

Por ejemplo, si tengo dos activos $A$ y $B$, y la prueba de Johansen nos da un coeficiente de cointegración de [1 -1] para sus precios logarítmicos: $$\log(A)-\log(B)=\eta$$ Cuando convertimos esta relación de vuelta a precios reales para entender su significado físico, tenemos $$\frac{A}{B}=e^\eta$$ Esto tiene sentido porque una ratio fija entre dos activos reales es intuitiva.

Sin embargo, para un coeficiente de cointegración diferente de [1 -1], por ejemplo [1 -2]: $$\log(A)-2\log(B)=\eta$$ cuando lo convertimos de vuelta a precios reales, tendremos una relación de $$\frac{A}{B^2} = e^\eta$$ Esto es no intuitivo de entender. ¿Cómo es posible esta relación entre dos activos en el mundo real como esta: ¿El precio de un activo es cuadrático al precio de otro activo?

Es aún peor si más activos están involucrados en la cointegración, dando relaciones como $(A^2 B^3)/(C^4 D^{1.5}) = \eta$ en el precio real.

En otras palabras, por ejemplo, en un trading de pares, si se encuentra que el vector de cointegración es [1 -2] de los precios logarítmicos, ¿qué ratio debería intercambiar para el precio real? No debería ser [1 -2].

Entiendo cómo funciona la cointegración con los precios logarítmicos, pero tengo dificultades para comprender su significado en el mundo real. ¿Alguien podría arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Consideremos un vector de cointegración de $[1, -2]$ para los precios logarítmicos de los activos $A$ y $B$. Esto implica la relación $\log(A) - 2 \log(B) = \eta$, donde $\eta$ es un término de error estacionario. Al exponenciar esta ecuación, obtenemos $\frac{A}{B^2} = e^\eta$, lo cual representa la relación de equilibrio a largo plazo entre los niveles de precios de los activos $A$ y $B$.

Es importante tener en cuenta que esta relación no implica una relación cuadrática directa entre los precios de los dos activos. El vector de cointegración $[1, -2]$ no significa que el activo $B$ sea el doble de volátil que el activo $A$. Más bien, indica que a largo plazo, la relación entre el precio del activo $A$ y el cuadrado del precio del activo $B$ tiende a revertir a un valor constante, $e^\eta$.

En términos prácticos, un vector de cointegración de $[1, -2]$ sugiere que si el precio del activo $B$ aumenta, el precio del activo $A$ necesitaría aumentar proporcionalmente al cuadrado de $B$ para mantener la relación de equilibrio a largo plazo. Esto no se traduce directamente en cambios porcentuales en los precios o en volatilidad relativa. La volatilidad de cada activo debe evaluarse de forma independiente a través de otros medios como el análisis de la varianza de precios históricos.

Para estrategias de trading, el vector de cointegración $[1, -2]$ sugiere una posible estrategia de pairs trading donde se mantendría una unidad del activo $A$ y se tomarían posiciones cortas en dos unidades del activo $B$. Esta estrategia tiene como objetivo obtener ganancias a partir de la reversión a la media de la ratio $\frac{A}{B^2}$ a su valor de equilibrio a largo plazo, $e^\eta$. Esto no se basa en la suposición de que el activo $B$ sea el doble de volátil que el activo $A$, sino en la expectativa de que la ratio $\frac{A}{B^2}$ volverá a la media.

Answer 2

Una posibilidad es que no hayas explorado una buena cantidad de datos, y en una región pequeña $sqrt(A)$ puede aproximar a $A$, y si hay una anomalía en los datos, $sqrt(A)$ bien puede ser un candidato. Probablemente observes que la función de probabilidad es muy plana en este caso, lo que significa que los datos no implican una confianza masiva en el resultado que tienes, y vale la pena revisar los datos.

Por ejemplo, digamos que la relación es $B=2A$. Ahora, si A está en [10000,10050], puedes decir que $B=200*sqrt(A)$ y realmente los datos no podrán decir que uno es mucho mejor que el otro. Si agrego una anomalía aquí que es (10025,20025), será más difícil determinar la relación.

Es muy probable que el resultado se deba a que el rango de A no se exploró a fondo. Si estás convencido de que la verdadera relación es $B=sqrt(A)$, entonces no es posible explicarlo sin mirar los factores subyacentes que gobiernan $A$ y $B$.