Dos preguntas acerca de una prueba de optimalidad de Bellman

Question

Hola: Estoy leyendo una prueba de "El Principio de Optimalidad de Bellman"

Primero, si alguien conoce una prueba más clara utilizando cualquier metodología razonablemente rigurosa, estoy abierto a leer esa en su lugar. Solo he leído las primeras dos páginas de esta y ya tengo dos preguntas. Dos páginas pueden no parecer mucho pero es bastante complejo así que se agradece mucho a cualquiera que se tome la molestia de dedicar el tiempo necesario. Hay muchos detalles.

Mis dos preguntas están abajo. Ambas preguntas tienen que ver con la ecuación (7) en la segunda página a la que el autor se refiere como la ecuación de Bellman-Euler.

1. ¿Cuál es la justificación para usar la función de reemplazo

$$ g_(t, k_{t}, c_{t}) = k_t + h(t, k_{t}, c_{t}) $$

2. Inmediatamente después de lo que se hace en la pregunta 1., el autor define, $\Delta_t \phi$ y afirma que (8) entonces se reduce a (7). No puedo entender cómo (8) se reduce a (7)? Es solo álgebra hasta donde puedo ver pero mi álgebra no me lleva a (7).

Envié un correo electrónico al autor y le pregunté sobre ambas preguntas pero no respondió. Nuevamente, gracias por cualquier ayuda. Señalar a una prueba diferente y posiblemente más clara también sería útil. Me gustaría pensar que busqué bastante para encontrar una buena prueba pero podría haber una mejor que me haya perdido. El autor es un profesor de finanzas con un doctorado en matemáticas por lo que podría haber pasado por alto una que pertenece al mundo de la economía.

Answer 1

La idea detrás de la función $h(t,k_t,c_t)$ es que da los incrementos de capital a medida que evoluciona. Por definición de $g$, $g(t,k_t,c_t)=k_{t+1}$, entonces $h(t,k_t,c_t)=k_{t+1}-k_t$. Esta función $h$ nos permite hacer una conexión entre los entornos de tiempo discreto y continuo. Esta conexión es destacada por el autor en las ecuaciones (13) y (14) más adelante en el texto. Sin $h$, la conexión entre el tiempo discreto y continuo es confusa ya que no hay una función análoga a $g$ en tiempo continuo, ya que no hay un "próximo" paso de tiempo desde el actual. Expresar el caso de tiempo discreto en términos de $h$ en lugar de $g$ nos permite ver el problema de tiempo continuo como el caso "límite" del problema de tiempo discreto a medida que los incrementos de tiempo se vuelven infinitesimalmente pequeños.

Para el punto (2), es solo álgebra. La ecuación en (2) se evalúa en el óptimo. Dado que $g(t,k_t,c_t)=k_t+h(t,k_t,c_t)$, tenemos por un argumento del sobre que $g_k(t)=1+h_k(t)$ y $g_c(t)=h_c(t)$. Por lo tanto,

$$\begin{align} f_k(t+1)-\frac{f_c(t+1)}{g_c(t+1)}g_k(t+1)&=-\frac{f_c(t)}{g_c(t)} \\ f_k(t+1)-\frac{f_c(t+1)}{h_c(t+1)}[1+h_k(t+1)]&=-\frac{f_c(t)}{h_c(t)} \\ f_k(t+1)-\frac{f_c(t+1)}{h_c(t+1)}h_k(t+1) &=\frac{f_c(t+1)}{h_c(t+1)}-\frac{f_c(t)}{h_c(t)} \\ f_k(t+1)-\frac{f_c(t+1)}{h_c(t+1)}h_k(t+1) &= \Delta_t\left(\frac{f_c(t)}{h_c(t)}\right)\end{align}$$

Para referencias alternativas, creo que una de las mejores presentaciones de los métodos recursivos se encuentra en "Recursive methods in economic dynamics" (1989) de Stokey-Lucas-Prescott. Sin embargo, la presentación allí es, si acaso, demasiado matemática. Aun así, es un gran texto de referencia.