Subasta de sobre cerrado de primer precio con puja discreta

Question

Realmente no pude resolver este problema. ¿Alguien puede ayudarme con esto?

Considera la subasta de oferta sellada para un único artículo, donde solo hay dos ofertas permitidas. Hay dos postores neutrales al riesgo que tienen valoraciones que son información privada y que se extraen de variables aleatorias i.i.d que están distribuidas uniformemente en $[0,1]$. Después de observar su propia valoración, cada uno de los dos postores envía simultáneamente e individualmente una oferta seleccionada del conjunto de dos elementos $\{0,1/4\}$. El postor de mayor oferta gana el artículo y paga la cantidad de su oferta. Sin embargo, en lugar de pagar su precio al vendedor, él paga al otro postor. Así que el postor perdedor recibe el pago del otro postor. En caso de empate, cada postor asume el papel del postor ganador con probabilidad $1/2$ y asume el papel del postor perdedor con prob. $1/2$. Resuelve el Equilibrio de Nash Bayesiano.

Answer 1

Dado que tenemos que $V_1, V_2$ son i.i.d $\text{Unif}(0,1)$. Podemos buscar un equilibrio de Nash bayesiano donde los jugadores jugarán una estrategia del siguiente tipo: \begin{eqnarray*} b_i(v_i) = \begin{cases} \frac{1}{4} & \text{si } v_i > c_i \\ 0 & \text{si } v_i \leq c_i \end{cases} \end{eqnarray*}

es decir, apuestan $\frac{1}{4}$ solo si sus valoraciones son lo suficientemente altas.

Solo necesitamos encontrar estos umbrales $c_1 \in [0,1]$ y $c_2 \in [0,1]$ para los dos jugadores.

Dado que el umbral del jugador $2$ es $c_2$ y la valoración del jugador $1$ es $v_1$,

• la ganancia esperada del jugador $1$ al apostar $0$ es $\frac{1}{4}\Pr(V_2 > c_2)+v_1\left(\frac{1}{2}\Pr(V_2 \leq c_2)\right) = \frac{1}{4}(1-c_2) + \frac{1}{2}v_1c_2 = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}c_2+\frac{1}{2}v_1c_2$
• la ganancia esperada del jugador $1$ al apostar $\frac{1}{4}$ es $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\Pr(V_2 > c_2)\right)+\left(v_1-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\Pr(V_2 > c_2)+\Pr(V_2 \leq c_2)\right) = \frac{1}{8}(1-c_2) + \left(v_1-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}(1+c_2)\right) = -\frac{1}{4}c_2+\frac{1}{2}v_1+\frac{1}{2}v_1c_2$

Por lo tanto, obtenemos que el jugador $1$ es indiferente entre las dos ofertas en $v_1=\frac{1}{2}$. Por lo tanto, su mejor elección de umbral de respuesta es $c_1=\frac{1}{2}$. Por simetría, $c_2=\frac{1}{2}$. Por lo tanto, la estrategia de equilibrio de Nash bayesiano de cada jugador $i\in\{1,2\}$ es la siguiente: \begin{eqnarray*} b_i(v_i) = \begin{cases} \frac{1}{4} & \text{si } v_i > \frac{1}{2} \\ 0 & \text{si } v_i \leq \frac{1}{2} \end{cases} \end{eqnarray*}

Tenga en cuenta que en la valoración umbral $\frac{1}{2}$, dado que los jugadores son indiferentes entre las acciones disponibles, pueden elegir cualquier de las dos acciones en esa valoración y, por lo tanto, hay un total de $4$ perfiles de equilibrio de Nash bayesiano de estrategia pura.